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焦点专题8 数列求和与不等式的解法、证明 【基础盘点】 一、数列求和的常用方法 1、公式求和法：求得与或与后，代入等差数列或等比数列的前项公式求解. 如在等比数列中，，，则 ； 2、观察规律法：当所给具有较强的规律性或以图形式出现时，可考虑此法.如已知 ，则 ； 3、倒序求和法：在数列中，出现为定值时，可考虑此法. 如数列中，，则 ； 4、裂项相消法：出现或时可用此法，如 ， ； 5、错位相减法：在数列中，出现，其中为等差数列，为等比数列，可用此法.如 ； 二、求解不等式的常用方法 1、解一元二次不等式之公式法：先用一元二次方程的求根公式解得， 再结合二次函数的图象可写出(或或 或)的解.如不等式的解集为 ； 2、解一元二次不等式之十字相乘法：将乘法公式 逆过来写有，故只需将中的A、C分别写成形式，再检查是否 等于，即可，为了 把这个过程直观化，常将该过程写为如下的“十字相乘” 形式，“十字相乘法”由此而得名. 如不等式的解集为 ； 3、解一般不等式之等价变形法：解不等式的过程就是将不等式等价变形为 或的过程，其中的变形需运用不等式的性质：加、减、乘、除、平方、开方、常数指数化、常数对数化等.如不等式的解集为 ； 三、证明不等式的常用方法 1、作差(商)法：(或).如比较与的大小； 2、配方法：将配方后，可以判断与0的大小，从而达到判断A与B的大小的目的.如比较与的大小； 3、综合法：收集、整理已知条件与熟悉公式、定理，得到所求证的不等式的一种方法，也可简记为“条件结论”的一种证明模式.如证明； 4、分析法：从结论出发，一边等价变形，一边收集所需的已知条件，一直到转化出一个显 然成立的结论，可简记为“结论条件”的一种证明模式.如3的不等式的证明； 5、构造函数法：通过等价变形后构造函数，运用函数的单调性求其最大(小)值达到证明不等式的一种方法.如当时，证明. 【例题精选】 焦点1：公式求和法、观察规律法、倒序求和法 【例1】1、设是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，,则 【题情捉摸】由得= (用表示)，然后代入得 ， ， 从而得的值. 2、已知数列2008,2009, 1,—2008,—2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2011项之和S2011等于 【题情捉摸】多写几项，得该数列为 ， 可知它是周期为 的周期函数，从而得的值. 焦点2：裂项相消法、错位相减法 【例2】1、设等差数列的前n项和为,且(c是常数,N*),. (1)求c的值及的通项公式; (2)证明:. 【题情捉摸】(1)当时,得 (用表示),进而由,得 (用表示), 又由，得 ；于是可求得公关 ，便得 ； (2)将(1)中的代入，观察其结构知，可用 解之2、等比数列{}的前项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上. w (1)求的值; (2)当b=2时,记求数列的前项和. 【题情捉摸】(1)由“点在曲线上”,可建立与的关系为 ,再由“与法”求得 ，当， ,也合适，对比得 ; (2)由，观察的结构知可用 求得 焦点3：一元二次不等式之公式法、十字相乘法 【例3】1、解下列不等式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题情捉摸】用 可求得(1)、(2)、(3)、(4)的解，用 可求得(5)、(6)的解. 2、解关于x的不等式:(). 【题情捉摸】移项整理得 ，即，方程 有两实根 ， ，当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ；当 时，解集为 . 焦点4：一般不等式之等价变形法 【例4】1、首项是,从第10项开始比1大的等差数列的公差的取值范围是 A. B. C. D. 【题情捉摸】从第10项开始比1大，说明 1， 1，从中可解得的范围.2、已知数列的通项公式为,