导数及其应用[]板块五微积分与定积分应用学生版0.docVIP

1．函数定积分： 设函数定义在区间上．用分点，把区间分为个小区间，其长度依次为． 记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间长度都趋近于．在每个小区间内任取一点，作和式． 当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即． 其中叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限．叫做被积式．此时称函数在区间上可积． 2．曲边梯形：曲线与平行于轴的直线和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积等于其曲边所对应的函数在区间上的定积分，即． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间中插入各分点，将它们等分成个小区间 ，区间的长度， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限． 3．求积分与求导数互为逆运算． ，即从到的积分等于在两端点的取值之差． 4．微积分基本定理 如果，且在上可积，则，其中叫做的一个原函数． 由于，也是的原函数，其中为常数． 一般地，原函数在上的改变量简记作， 因此，微积分基本定理可以写成形式：． 题型一：定积分的概念 求围成图形面积． 根据定义计算积分． 根据定义计算定积分． 根据定义计算积分． 求定积分． 等于（ ） A． B． C． D． 求定积分． 由及轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________． 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ ） A． B． C． D． 求曲线以及直线，，所围成的图形的面积． 已知函数， ⑴试用定积分表示与轴围成的介于与之间的平面图形的面积； ⑵结合的图象猜出的值； ⑶试将上述问题推广到一般的情况． 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（ ） A．在时刻，甲车在乙车前面 B．时刻后，甲车在乙车后面 C．在时刻，两车的位置相同 D．时刻后，乙车在甲车前面 设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数，…，和，…，，由此得到个点，在数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 ． （ ） A． B． C． D． 函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为， 则函数在上的面积为_____________． 题型二：微积分基本定理 ______． _______． ______． ______． ___________． 函数，求． 下列等于1的积分是（ ） A． B． C． D． （ ） A． 　　B． C． D． 计算下列定积分的值：⑴；⑵；⑶． （ ） A． B． C． D． 曲线与坐标轴围成的面积是（ ） A． B． C． D． =（ ） A． B． C． D． （ ） A． B． C． D． ． 由曲线、直线、和轴围成的封闭图形的面积为 ． 设函数．若，，则的值为________． 若，则________． 若，则等于（ ） A． B． C．或 D．不确定 已知，则二项式展开式中含项的系数是 ． 已知，若，则 ． 求的值． ，则实数 ． 的值等于（ ） A． B． C． D． ＝（ ） A． B． C． D． ，则______． _______． 已知，且，，，求、、的值． 已知函数，则（ ） A． B． C． D． 试用定积分表示由直线，，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值． 试用定积分表示由直线，，及轴围成的平面图形的面积，并求积分的值． 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为 ． 由曲线，围成的封闭图形面积为（ ） A． B． C． D． 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数， 则当