代数系统部分学习辅助材料99.docVIP

在学习抽象代数之前，我们已经学过了一些具体的代数系统，像命题代数 、集合代数 。但在研究的过程中我们发现，很多代数系统是相通的，比如说在学习集合代数的时候，可以用集合变元代替命题变元，运算代替运算，运算代替运算，运算代替运算，运算代替运算，那么命题代数里所有的性质可以平移到集合代数中去 。遵照这一思路，抽象代数部分研究不特指的代数系统，并讨论代数系统的性质，研究不同代数系统之间的联系 。 关于这部分的用处，如果到高年级之后接触到编译原理的词法分析部分，以及形式语言自动机部分，还有密码学部分，会用到抽象代数中大量的知识 。考研中离散数学部分，也要涉及到这部分的内容 。 了解了该部分主要的研究对象和研究目的，下面跟我一起逐个讨论 。 1．代数系统的基本概念 该部分有三个需要注意的知识点： 1.1什么是代数系统？ 代数系统的表征形式是一个序偶，其中S是非空元素的集合，叫做该代数系统的定义域，是运算的集合。|S|称为代数系统的阶 。 要判断一个给定的系统是否是代数系统，需要验证： 定义的运算满足映射的唯一性（符合函数的定义） 所有运算都是封闭的 。 例：不是一个代数系统，因为自然数集合下的运算不满足封闭性；设S是一个非空集合，那么是一个代数系统，其中为S的幂集 。 1.2子代数系统 如果是一代数系统，取S的一个子集，如果在所有的运算上都满足封闭性，那么也是一个代数系统，称之为的子代数系统 。 要判断是否是的子代数系统，需要验证： ，并且两个代数系统运算集一样 。 所有运算都是封闭的 。 例：是代数系统的子代数系统。其中N表示自然数集合，I表示整数集合 。 1.3代数系统的同类型 设有两个代数系统，如果可以在两者的运算集合上构造一个双射，并且每个原像和对应的像点运算的元数相同，那么就说代数系统U和V同类型 。 同类型的概念是讨论同态和同构的基础。 2．代数系统中运算的性质 设代数系统为 2.1运算的定律 结合率： 交换率： 分配率： （对*满足左分配率） （对*满足右分配率） 吸收率： （对*满足左吸收率） （对*满足右吸收率） 等幂率： 可约率：设为零元 （左可约率） （右可约率） 2.2运算中的特异元素 么元： （为关于的左么元） （为关于的右么元） 零元： （为关于的左零元） （为关于的右零元） 等幂元：（为关于的等幂元） 逆元：（设为关于的么元） （y为x关于的左逆元） （y为x关于的右逆元） 可约元：（设） （x是关于的左可约元） （x是关于的左可约元） 注意：能寻找到常见代数系统中的特异元素 代数系统 么元 零元 等幂元 逆元 可约元 0 无 0 相反数 任何元素 1 0 1，0 除0外，为其倒数 除0外的任何元素 S 任何元素 除S外，其余元素均不可逆 S S 任何元素 除外，其余元素均不可逆 任何元素 除T外，其余元素均不可逆 任何元素 除F外，其余元素均不可逆 是从n个元素到自身的双射函数 恒等函数 无 其反函数 所有双射函数 2.3从运算表中判断运算性质的方法 给定代数系统 封闭性：运算表中的每个元素都属于S 。 交换律：运算表关于主对角线对称 。 等幂律：运算表主对角线上的元素与对应行或者对应列的表头元素相同 。 零元：x是关于的左零元，当且仅当运算表中x所对应的行中每个元素都与x相同；x是关于的右零元，当且仅当运算表中x所对应的列中每个元素都与x相同 。 么元：x是关于的左么元，当且仅当运算表中x所对应的行中每个元素都与对应的行表头元素相同；x是关于的右么元，当且仅当运算表中x所对应的列中每个元素都与对应的列表头元素相同 。 逆元：x为关于的左逆元，当且仅当x所在行的元素中至少有一个么元，y为关于的右逆元，当且仅当y所在列的元素中至少有一个么元。x与y互为逆元，当且仅当运算表中x行y列及y行x列中的元素都为么元 。 例：给定代数系统，，找出下列运算表的特异元素 。 么元：a；没有零元；等幂元：a，d，e； b 、c互为逆元；d是b的左逆元 。 不满足交换律，不满足等幂律 。 3．代数系统的同态与同构 代数系统的同态和同构是建立在同类型的基础上，在两个代数系统的定义域上构造一个映射，满足运算的像等于像的运算 。 3.1基本概念 同态：给定代数系统，，如果这两个代数系统是同类型的，而且可以构造一个函数，满足，那么我们说V1和V2是同态的，而称为从V1到V2的同态映射 。 如果用一个图比较直观的观察同态，可以表述如下： 也就是 如果运算是个一元运算，假设代数系统是，，为其对应的同态映射，那么直观图如下： 也就是 由于f的类型不同，可以产生不同的映射： f是满射，f为两个代数系统