高考数学考点总动员+考点+万能工具大题必考帮你理顺导数及应用新课标版.docVIP

2012高考数学考点总动员 考点2 万能工具，大题必考，帮你理顺导数及应用新课标版 一.专题综述 利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观2011年各地的高考题，对于本专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应用，二是导数运算和解不等式相联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优化问题，八是微积分的应用。 二．考纲解读2012年高考命题趋向高频考点解读 [2011·湖南卷] 曲线y＝ －在点M处的切线的斜率为(　　) A．－ B . C．－ D. 【答案】B 【解析】 对y＝ －求导得到y′＝＝，当x＝，得到y′＝＝. [2011·山东卷] 曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 C　【解析】 因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.[2011·江西卷] 若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) C　【解析】 方法一：令f′(x)＝2x－2－＝0，又f(x)的定义域为{x|x0}，(x－2)(x＋1)0(x0)，解得x2.故选C. 方法二：令f′(x)＝2x－2－0，由函的定义域可排除B、D，取x＝1代入验证，可排除A，故选C. [2011·辽宁卷] 函f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意xR，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) B　【解析】 设G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意xR，f′(x)2，所以G′(x)＝f′(x)－20恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－40，即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. [2011·广东卷] 设a＞0，讨论函f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性． 【解答】 函f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝， x2＝＋0， 所以f′(x)在定义域内有唯一零点x1， 且当0xx1时，f′(x)0，f(x)在(0，x1)内为增函；当xx1时，f′(x)0，f(x)在(x1，＋∞)内为减函． f(x)的单调区间如下表：0a ≤a≤1 a1 (0，x1) (x1，x2) (x2，＋∞) (0，＋∞) (0，x1) (x1，＋∞)       (其中x1＝－，x2＝＋)[2011·福建卷] 已知a，b为常，且a≠0，函f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对的底)． (1)求实b的值； (2)求函f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实m和M(mM)，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实m和最大的实M；若不存在，说明理由． 【解答】 (1)由f(e)＝2得b＝2. (2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx. 从而f′(x)＝alnx. 因为a≠0，故： 当a0时，由f′(x)0得x1，由f′(x)0得0x1；　 当a0时，由f′(x)0得0x1，由f′(x)0得x1.　 综上，当a0时，函f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a0时，函f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x 1 (1，e) e f′(x) － 0 ＋ f(x) 2－ 单调递减 极小值1 单调递增 2 又2－2，所以函f(x)(x∈)的值域为[1,2]． 据此可得，若相对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点； 并且对每一个t(－∞，m)(M，＋