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2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)函数的可去间断点的个数为:( )
视频讲解播放地址/player.php/sid/XNDc1NDY5OTMy/v.swf
和播放密码475928341
. 1 . 2 . 3 .无穷多个
【答案】C
【解析】
则当取任何整数时,均无意义
故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解
故可去间断点为3个,即
(2)当时,与是等价无穷小,则( )
视频讲解播放地址/player.php/sid/XNDc1NDcwMDA0/v.swf
和播放密码473505172
., . ,
., .,
【答案】
【解析】为等价无穷小,则
故排除。
另外存在,蕴含了故排除。
所以本题选A。
(3)使不等式成立的的范围是( )
视频讲解播放地址/player.php/sid/XNDc1NDcwMTAw/v.swf
和播放密码481313161
. . . .
【答案】
【解析】原问题可转化为求
成立时的取值范围,由,时,知当时,。故应选.
(4)设函数在区间上的图形为:
视频讲解播放地址和播放密码尽在/kaoyanmaths中
则函数的图形为( )
. .
. .
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由的图形可见,其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数,从而可得出几个方面的特征:
①时,,且单调递减。
②时,单调递增。
③时,为常函数。
④时,为线性函数,单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点,可见正确选项为。
(5)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若则分块矩阵 的伴随矩阵为( )
. .
. .
【解析】根据,若
分块矩阵的行列式,即分块矩阵可逆
故答案为(B)
(6)设均为3阶矩阵,为的转置矩阵,且,若,则 为( )
. .
. .
【答案】 A视频讲解播放地址和播放密码尽在/kaoyanmaths中
【解析】,即:
(7)设事件与事件B互不相容,则( )
. .
. .
【答案】
【解析】因为互不相容,所以
,因为不一定等于1,所以不正确
当不为0时,不成立,故排除
只有当互为对立事件的时候才成立,故排除
,故正确。
(8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为( )
. 0 . 1 . 2 . 3
【答案】 B
【解析】视频讲解播放地址和播放密码尽在/kaoyanmaths中
独立
(1)若,则
(2)当,则
为间断点,故选(B)
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) .
【答案】
【解析】
(10)设,则
【解析】
由,故
代入得,
(11)幂级数的收敛半径为
【答案】
【解析】
由题意知,
所以,该幂级数的收敛半径为
视频讲解播放地址和播放密码尽在/kaoyanmaths中
(12)设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 元
【答案】12000
【解析】所求即为
因为,所以
所以
将代入有。
(13)设,,若矩阵相似于,则
【答案】2
【解析】相似于,根据相似矩阵有相同的特征值,得到的特征值为
3,0,0。而为矩阵的对角元素之和,,。
(14) 设,,…是来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差,记统计量,则
【答案】
【解析】由
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)求二元函数的极值。
【解析】
故
则
而
二元函数存在极小值
(16)(本题满分10 分)
计算不定积分
【解析】
令得
(17)(本题满分10 分)视频讲解播放地址和播放密码尽在/kaoyanmaths中
计算二重积分,其中.
【解析】由得,
(18)(本题满分11 分)
①证明拉格朗日中值定理,若函数在上连续,在上可导,则,得证.
②证明:若函数在处连续,在内可导
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