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【2013命题趋势预测】
通过对近三年高考中立体几何的题型分析,编者在此对2013立体几何数的命题做出如下预测,欢迎各个老师进行讨论、指导;
相对于其他一些考点而言,立体几何近三年的考查趋势较为稳定,所谓“稳定”,是指立体几何出题形式相对比较传统,难度居中,位置靠前,但重点突出,易于学生把握,能够很好的考查了学生对基础知识的掌握程度,所以预测在2013年的高考中立体几何问题仍然将会保持“稳定”的一个趋势,不会出现偏题、怪题;
大部分的省市对立体几何的出题分为两个部分,一是选择、填空中的立体几何问题,二是解答题中基本立体几何的考查,通过两个部分,来了解学生对立体几何问题的掌握程度;因此,我们可以预测,在2013年的高考中,大部分高考试卷会延续“选择+大题”或者“填空+大题”的考题形式;
立体几何的考点屈指可数,但可以灵活交汇,因此对编者根据对考试大纲的解读,预测2013年高考中,在选择题、填空题中,针对性三视图求表面积和体积、球内接图形的体积计算,解答题一般有着简单的处理方法,那就是引入空间直角坐标系,利用向量来作为辅助工具进行运算;这样,大大降低了解答题的难度,变空间想象能力为基本运算能力.
【高考冲刺押题】
【押题1】如图1,平面四边形关于直线对称,,,.把沿折起(如图2),使二面角的余弦值等于.
(1)求两点间的距离;
(2)证明:平面;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
名师思路点拨:(1)由题设可知由,所以,然后取的中点 ,连接,在中,利用余弦定理来求解;(2)在知道各边数量的情况下,利用勾股定理可以证明,所以平面;(3)思路一:作交于,就是与平面所成的角,可以求出;思路二:利用算出点到平面的距离为,根据平面几何知识可知与平面所成角的正弦为;思路三:建立直角坐标系,计算与平面所成角的正弦即可.
名师押题理由:本题对空间想象能力和基本计算能力有一定要求,具体考点如下:
1、平面几何基础知识;2、余弦定理的应用;3、线面垂直的判定定理;4、二面角;
5、线面成角的计算;6、等体积法的使用;7、向量法的使用.
【押题2】如图,三棱柱中,
⊥面,,,为的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在侧棱上是否存在点,使得?,,
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
名师思路点拨:(1)连接B1C,与BC1相交于O,连接OD,易证OD//AB1
,所以综合线面平行的条件可知AB1//面BDC1;(2)建立直角坐标系,计算面BDC1的法向量与面ABC的法向量,然后可以利用法向量可以求出二面角C1—BD—C的余弦值;(3)
利用线面垂直的性质定理可以知道要是CP⊥面BDC1,则有,然后该方程组无解,所以侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1.
名师押题理由:本题是一道立体几何的综合问题,充分考查了学生对定理的应用即探究的数学思想,具体考点如下:
1、线面平行的性质定理;2、中位线的性质定理;3、法向量的求解;
4、使用向量法求二面角的余弦;5、使用向量法判定线面垂直.
【押题3】如图,在边长为4的菱形中,.点分别在边上,点与点不重合,,.沿将翻折到的位置,使平面⊥平面.
求证:⊥平面;
当取得最小值时,请解答以下问题:
(i)求四棱锥的体积;
(ii)若点满足= (),试探究:直线与平面所成角的大小是否一定大于?并说明理由.
故 ,
所以,
,,,
又∴.
,.
因此直线与平面所成的角大于,即结论成立.
,平面()设,四棱锥的体积()平面的法向量为
【押题4】如图,直三棱柱中,,,,分别为,的中点.
()的长;
()// 平面;
()上是否存在点,使平面?说明理由.
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
名师思路点拨:(1)构造直角三角形,利用勾股定理计算;(2)取中点,连接,,构造平行四边形,再补充线面平行的条件即可;(3)思路一:建立空间直角坐标系,使用向量法来进行探究;思路二:运用线面垂直的判定定理证明“线段上存在点,且为中点时,有平面”.
名师押题理由:本题空间感强,重点突出,考查了以下知识:
1、勾股定理;2、平行四边形的性质;3、线面平行的判定定理;4、线面垂直的判定定理.
【押题5】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,
顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.
(1)求棱AA1与BC所成的角的大小;
(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=,并求出二面角P-ABA1的平面角的余弦值.
则cos〈n1,n2〉===-,
故二面角PABA1的平面角的余弦值是.
【深度剖析】
押题指数:★★★★★
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