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Ch2-3-1连续与间断
§2.3 函数的连续性
考察下列图形
y y y
0 a x 0 a x 0 a x
y y y
x
0
a x
0 a x
一、函数连续性的定义
定义 设函数f (x ) 在x x 0 的邻域内有定义,如果 lim f (x ) f (x 0 ) ,
x →x 0
则称函数f (x ) 在x 0 处连续,x x 0 为f (x ) 的连续点。
ε−δ 语言描述:
∀ε 0,∃δ0,当| x −x 0 |δ 时,有| f (x ) −f (x 0 ) |ε,则称
f (x ) 在x 0 处连续。
由于 lim f (x ) f (x 0 ) 等价于 lim [f (x ) −f (x 0 )] 0,
x →x 0 x →x 0
记∆x x −x ,∆y f (x ) −f (x )
0 0
增量语言描述:
当自变量的增量 ∆x x −x 0 →0 时,对应函数的增量
∆y f (x ) −f (x ) →0 f (x ) x
,则称函数 在点 处连续。
0 0
⎛ ⎞
注: 若f (x ) 在x 0 处连续, 则 lim f (x ) f (x 0 ) f ⎜ lim x ⎟,
x →x 0 ⎝x →x 0 ⎠
说明极限符号 lim 可以和函数符号f 交换运算次序。
定义 若f (x 0 −0) f (x 0 ) ,则称f (x ) 在点x 0 左连续;
若f (x 0 +0) f (x 0 ) ,则称f (x ) 在点x 0 右连续。
结论 f (x ) 在点x 0 处连续 ⇔ f (x ) 在点x 0 既左连续又右连续。
定义 ∀x ∈(a ,b) ,f (x ) 在点x 处连续,则称f (x ) 在(a ,b) 内连续;
若f (x ) 在a 处右连续,在b 处左连续,则称f (x ) 在[a ,b] 上连续。
例1 讨论函数f (x ) | x | 在(−∞, +∞) 上的连续性。
⎧x , x ≥0
解 f (x ) ⎨
−x , x 0
⎩
a 0 时, lim f (x )
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