《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第11讲课后习题答案.doc

第十一章 线性算子的谱 设。证明，且其中没有特征值。 证明 当时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样。 反之若，定义算子。则由于，且 因此是C[0，1]中有界线性算子。 易验证，所以。 总之， 若，则对任意，，可推得。由于，必有，所以A无特征值。证毕。 设，证明 。 证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样。 反之，若，定义。类似第1题可证是有界线性算子，且。即。 因此。证毕。 设， 试求。 解 对任意，若，定义，显然，因此的内点都是A的点谱，由于是闭集，则。 对任意，显然，因此，所以。 这样我们就证明了。 设F是平面上无限有界闭集，是F的一稠密子集，在中定义算子T： 则都是特征值，中每个点是T的连续谱。 证明 对任意n，，其中1在第n个坐标上。由题设，，因此是T的特征值。又由于是闭集，所以。 若，则。定义算子，若 ， 易验证，且。 因此。 若，且，使。则对任意n，。由于，则，。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。 设为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。 证明 设是的特征值，的n次根为。存在，使，则。 若，则就是A的特征值，否则必有某i， ， 而， 则是A的特征值。证毕。 设A为Banach空间X上的有界线性算子，，又设为X上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，也以为正则点。 证明 。 当n充分大时，，这样 是可逆的。此可逆性由本章§2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当时， ，。 证明 当时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。 这就证明了， 。 证毕。 设A为X上的有界线性算子，，则 。 其中与的意义同第7题。 证明 在等式两边左乘右乘得 。 因此，证毕。 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明 证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且。 事实上，对任意，。这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了T*也可逆，且。 现在设，则可逆，因此也可逆，从而。同理若，则，这就证明了。证毕。 设是 到的全连续算子，是到的有界线性算子，则是到的全连续算子。 证明 设 是 中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。 设A是上线性算子，记， 其中，证明A是全连续的。 证明 若，定义： 则是有界秩算子，且 所以。 由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕。 的符号同第11题。作上算子U。 证明U是上全连续算子且。 证明 若，则。令，则是有限秩算子，且 所以。 这样U是有限秩算子的极限，U必是全连续算子。 由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证，只要证U无非零特征值。倘若，。即 。 则，由此可得。因此不是U的特征值。证毕。 13．设 ， 求A的特征值和特征函数。 （提示：记 ） 解 记。设为对应特征值的特征函数，则，即。 若，则。代入c的表达式：，解得。因此非零特征值，特征函数为，其中为任意非零常数。 若，则，特征函数为中任意非零函数。 积分算子的核为，， 其中 为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e有形式 ， 是常数。 若记 ， 则可由下式决定：。 证明 。 若为A的特征值，为对应的特征向量，则 。 即，其中 。 将代入表达式得 。 即，。证毕。 在14题中，若。试求特征值和特征函数。 解 采用14题的符号，因为，所以，，。 这样决定的方程组 。 变为 ，。因此就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个，其相应的特征函数为。 显然由张成的有限维线性子空间M的正交补空间中任一非零函数都是相应于0的特征函数。 若，求积分算子K 的特征值和特征函数。 解 。 令 可验证 。 因此积分算子K有两个非零特值。其中相应于特征函数为，相应于特征函数为。如15 题，0相应的特征函数为中非零函数。 解方程。 解 。 设为的完全规范正交系，则由本章§5定理1，方程解为 。 但，因此 所以是积分方程的解。 本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。 解方程。 解 。。 设为的完全规范正交系，由本章§5定理1， 因此为本积分方程的解。