《数理统计》第8讲§4一元线性回归.ppt

问题 仅仅是一个假设。 “ 关于 的回归函数 是线性函数” 以上讨论中 问题的提出 线性模型 是否符合实际？ 即 与 之间是否存在线性相关关系？ 与 之间的线性相关关系是否显著 是否成立 故提出如下假设 拒绝 ，则认为线性相关关系成立，线性模型 的效果是显著的；若接受 ，则认为模型不合理 问题 怎样检验 ？ 的点估计分别为 采用 t 检验法：因为 且 相互独立 ，故 ，故 的拒绝域是 其中 是 的无偏估计. 当 为真时， 的值应偏小 例 为研究某化学反应过程中，温度 (℃)对产品得率 的影响，测得数据如下 由前例，求得回归方程为 解 依题意，要检验假设 试检验回归效果是否显著. 采用 t 检验法， 的拒绝域是 故拒绝 ,即认为回归效果显著. 三、相关系数检验 一元线性回归方程是反映两个随机变量x与y间的线性相关关系，它的显著性检验还可通过对二维总体相关系数?的检验进行。它的一对假设是 H0：?=0 vs H1：? ?0 (8.4.18) 所用的检验统计量为样本相关系数 (8.4.19) 拒绝域为W={?r??c}，其中临界值c应是H0: ?=0成立下?r?的分布的1?? 分位数，故记为c=r1- ?(n?2). 由样本相关系数的定义可以得到 r与F统计量之间的关系 这表明， ?r?是F的严格单调增函数，故可以从F分布的1?? 分位数 F1-?(1, n?2) 得到 ?r? 的1?? 分位数为 在一元线性回归场合，三种检验方法是等价的：在相同的显著性水平下，要么都拒绝原假设，要么都接受原假设，不会产生矛盾。 F 检验可以很容易推广到多元回归分析场合，而其他二个则否，所以，F检验是最常用的关于回归方程显著性检验的检验方法。 8.4.5 估计与预测 当回归方程经过检验是显著的后，可用来做估计和预测。这是二个不同的问题： （1）当x=x0时，寻求均值E(y0)=?0+ ?1 x0的点估计与区间 估计（注意这里E(y0)是常量）是估计问题； （2）当x=x0时，y0的观察值在什么范围内？由于y0是随机变量，为此只能求一个区间，使y0落在这一区间的概 率为1-? ，即要求?，使称区间为y0的概率为1- ?的预测区间， 这是预测问题。 为得到E(y0)的区间估计，我们需要知道 的分布。由定理8.4.1， 又由定理8.4.3知， Se /? 2 ~? 2(n-2)，且与 相互独立，故 于是E(y0)的1?? 的置信区间（CI）是 （8.4.20） 其中 （8.4.21） 二、 y0的预测区间 实用中往往更关心x=x0时对应的因变量y0的取值范围。 y0的最可能取值为 ，于是，我们可以使用以 为中心的一个区间 作为y0的取值范围。经推导，? 的表达式为 (8.4.23） 上述预测区间（PI）与E(y0)的置信区间的差别就在于根号里多个1。 2、总体个值预测值的预测区间 由 Y0=?0+?1X0+? 知: 于是 式中 : 从而在1-?的置信水平下， Y0的置信区间为 * * * * * * * * * * * * * * * 可人为改变(可控因素) 化工产品苯酚的产率记为 影响产率的五个主要 因素有 温度 时间 压力 催化剂种类 碱液用量 、 、 、 、 随各 的变化而变化,即 是因变量 即使各 相同 的值也不完全相同,故 是 即有 对回归函数 进行统计推断 一般地, 未知,如何确定 是普通函数,表示 与各 之间的确定性关系 不可观测的随机误差 §4 一元线性回归 可用函数