《概率与统计》第四课时随机变量数字特征.ppt

* 上一页 下一页 返回 第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数 第四节 矩、协方差矩阵 第一节 数学期望 为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即 1.数学期望的定义 E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称为分布的均值. 例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望. 解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为 0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885 pk 10000 1000 100 10 1 X 因此， E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134 +10×0.1+1×0.885 =5.725. 可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的. 例4.4 设随机变量X服从柯西（Cauchy）分布，其概率密度为 试证E（X）不存在. 故E（X）不存在. 证 由于 定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。 2.随机变量函数的数学期望 设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知Y的概率密度为 证明 推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数） 例4.6 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间［a，b］内，求球体积的数学期望. 解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为 球体积 ，由（4.6）式得 定理4.2 设随机变量X,Y的数学期望E(X),E(Y)存在. 3.数学期望的性质 例4.9 设一电路中电流I（安）与电阻R（欧）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 试求电压V=IR的均值. 解 (1) (0—1)分布 E（X）=0×(1-p)+1×p=p. 4.常用分布的数学期望 (2) 二项分布 (3) 泊松分布 (4) 均匀分布 (5) 指数分布 (6) 正态分布 第二节 方差 2.方差的性质 设随机变量X与Y的方差存在，则 3.常用分布的方差 X 0 1 P 1-p p 例4.15 设活塞的直径（以cm计）X~N(22.40,0.032)，气缸的直径Y~N（22.50,0.042），X，Y相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率 解 按题意需求P{XY}=P{X-Y0}.令Z=X-Y，则 E（Z）=E（X）-E（Y）=22.40-22.50=-0.10, D(Z)=D(X)+D(Y)=0.032+0.042=0.052, 即Z~N（-0.10,0.052）,故有 第三节 协方差与相关系数 若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i, j=1,2,… 若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) 例4.18 设X服从[0,2π]上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这里a是常数.求ρYZ. ① 当a=0时，ρYZ=1，Y=Z，存在线性关系； ② 当a=π时，ρYZ=-1，Y=-Z，存在线性关系； ③ 当 时，ρYZ=0，这时Y与Z不相关，但这时却有Y2+Z2=1，因此，Y与Z不独立. 第四节 矩、协方差矩阵 设n维随机变量(X1,X2,···Xn) 的1+1阶混合中心矩 为n维随机变量(X1,X2,···Xn)的协方差矩阵。 都存在，则称矩阵 协方差矩阵具有以下性质： （1）协方差矩阵为对称矩阵; （2）协方差矩阵为非负定矩阵。 协方差Cov(X,Y)是X和Y的1+1阶混合中心矩