《概率论和数理统计》课件ch5.ppt

CH5 大数定律与中心极限定理 §5.1 切比雪夫不等式 证明 应用 例5-1-1 例5-1-2 练5-1-1 练5-1-2 §5.2 大数定律 §5.2 大数定律 切比雪夫大数定律的意义 例5-2-1 练5-2-1 贝努利大数定律的意义 中心极限定理的意义 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 二项分布的近似 * CH5 大数定律与中心极限定理 §5.1 切比雪夫不等式 §5.2 大数定律 §5.3 中心极限定理 本章要解决的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答 大数 定律 中心极 限定理 §5.1 切比雪夫不等式 设 r.v. X 的方差 DX 存在， 则 对于任意实数 ? 0, 有 或 一. 切比雪夫( Chebyshev)不等式 证明： 以一维连续型r.v.X密度函数p(x)为例 应用 （1）用期望和方差估计事件的概率： X在（EX -ε，EX +ε)内（外）的概率 的下（上）界 （2）证明不等式 （3）推导大数定律 例5-1-1 废品率为0.03，估计1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。 解 X—1000个产品中废品数 X～Ｂ(1000，0.03） EX=30, DX=29.1 例5-1-2 若 DX=0，证明 P（X=EX）=1 证 由ε的任意性 练5-1-1 设电站供电网有10000盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,假定开关时间独立,估计夜晚同时开着的灯数在 6800与7200之间的概率. 解 X—夜晚同时开着的灯数 X～Ｂ(10000，0.7） EX=7000, DX=2100 练5-1-2 设r.v.X的期望μ，方差σ2，估计X在区间（ μ -3 σ ，μ +3 σ ）内的概率. 解 §5.2 大数定律 用极限方法来研究大量独立（包括微弱相关）随机试验的规律性的一系列定律 — 大数定律 为什么会有这种规律性？ 大量试验过程中，随机因素相互抵消，相互补偿的结果。 任何一个随机试验，事件发生的频率随着试验次数的增多，逐渐稳定于常数—概率。 依概率收敛 几个概念 （1）切比雪夫～ 方差均存在且 D Xi l , i=1,2, … 则 有 二. 大数定律· 1. 切比雪夫～ 证明 则 有 证: 切比雪夫~意义 独立 r.v.序列的算术平均值 算术 均值 数学 期望 近似代替 可被 依概率收敛于其数学期望 （2）辛钦～ 期望存在且 E Xi =μ , i=1,2, … 则 有 2. 辛钦~ （2）辛钦～ 应用：近似计算期望值 意义：以样本均值近似代替总体均值 例5-2-1 测量某物理量a。 解 要测量物理量a , 在不变情况下重复测量n次，得到观测值 这些观测值可看作独立同分布r.v.序列 的观测值 当n 充分大时，可以取其平均值 作为a 的近似值。 练5-2-1 估计某一地区小麦的平均亩产量,根据辛钦大数定律提供一种估计方法. 解 取n 个有代表性的地块，测量它们的亩产量，计算其平均值，近似全地区小麦亩产量的平均值。 （3）贝努利～ 则 有 3. 贝努利~ 证 则 X—— n重贝努利试验中的成功总次数， 考虑n重贝努利试验中的每一次试验，令 证 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率， 在 n 足够大时, 可以用频率近似代替概率 . 贝努利大数定律的意义 这种稳定称为依概率收敛. 频率依概率收敛于概率 §5.3 中心极限定理 §5.3 中心极限定理 研究在什么条件下，独立r.v.序列和的极限分布为正态分布的一系列定理的总称 三. 中心极限定理 独立同分布～ 则对于任意实数 x , 独立同分布～ 定理 1 林德伯格-列维中心极限定理 (Lindberg-levi) 注 独立同分布中心极限定理的意义 不论r.v.序列服从何分布，只要期望，方差有限，总和标准化后以 N(0,1) 为极限。 影响随机现象的随机因素多且微小时，这些因素共同作用的结果近似服从正态分布。 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 X ~ B( n , p) , 0 p ,q 1, p+q=1,n = 1,2,… 则有 定理2 (1) 局部~ (2) 积分~