斯坦纳—莱默斯定理的推广与猜想.doc

斯坦纳—莱默斯定理的推广与猜想 定理：有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形. 这个问题是1840年莱默斯（C.L.Lehmus）在给图姆（C.Sturm）的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何学的证明.首先回答这个问题的是瑞士的大几何学家斯坦纳（J.Steiner），后来，该定理就以斯坦纳—莱默斯定理著名于世.论述它的文章发表于1842，1844，1848及1854到1864年的几乎每一年的多种杂志上. 由上述定理，我们可以得到两个极妙的推论. 推论1.设BD、CE为△ABC的∠B与∠C的内角平分线，如果BDCE，则ABAC. 证明：（反证法） （ⅰ）假设AB=AC，则BD=CE,与已知矛盾. （ⅱ）假设ABAC,则∠C∠B.(如图1) 在CE上取一点，使∠BD=∠C， 则、B、C、D四点共圆. 图1 因为∠C， 所以∠C900，∠BCD∠CB900， 则CEBD， 与已知条件矛盾， 故ABAC. 推论2：设BD、CE为△ABC的∠B与∠C的内角平分线，如果=，则AB=AC. 证明：略. 由上述定理及其推论，可以得到丰富多彩的下列诸命题： *推广1：如图2，设L为经过点C且平行于△ABC的边AB的直线，∠A的内角平分线交边BC于D，交L于E；∠B的内角平分线交边AC于F，交L于G,如果GF=DE,则AC=BC。 证明：设AC=b,BC=a,AB=c. 易知：, . 于是，故由推论2知AC=BC. 图2 *推广2：如图3,设L是平行于△ABC的边AB的任一直线，L交BC、AC于M、N,∠A的内角平分线交边BC于D，交L于E；∠B的内角平分线交边AC于F，交L于G,如果GF=DE,则AC=BC. 证明略. 图3 *推广3：如图4，设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的一点，且,BD=CE,则AB=AC. 图4 *推广4:如图4设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的一点，且,,则AB=AC. 观察上述推广，不难得到下列诸命题： *猜想1：设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的一点，且，直线L是经过A点且平行于BC的直线，BD、CE的延长线交L于M、N.如果DM=EN,则AB=AC. *猜想2：设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的一点，且，L∥BC,l交BD、CE（或其延长线）于M、N，如果DM=EN,则AB=AC. *猜想3：设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的一点，且,直线L是经过点A，且平行于BC的直线.BD、CE的延长线交L于M、N，如果.则AB=AC. *猜想4：设D、E分别为△ABC的边AC、AB上的一点，且， L∥BC,交DB、CE（或其延长线）于M、N.如果有.则AB=AC. 关于上述命题的证明从略，有兴趣的读者可以自己去钻研. 参考文献 1.梁绍鸿编、赵兹庚校.初等数学复习及研究（平面几何）.人民教育出版社，1979 2.朱德祥.初等几何研究.高等教育出版社，1991 发表于《数学教学研究》（兰州）2002年第1期 1 D C B E A A B C D E G F a b c L A B C G E N M F D B C A E D F