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一元函数的最值模型
微分模型-一元函数最值模型
吕 靖
预备知识
一元函数导数和微分
学习目标
1、掌握建立(一元和多元)函数最值模
型的方法;
2、掌握用求函数驻点的方法求函数的最
值。
教学内容
一、一元函数的最值模型
二、分段函数的最值模型
三、多元函数的最值模型
一元函数的最值模型
在实际生产和生活中,常常遇到求 “成
本最低”、 “产量最大”、 “收入最
高”、 “利润最大”、 “效率最高”、
“用料最省”、 “时间最短”等问题。这
类问题在数学上就是求函数的最大值、
最小值问题,统称为最值问题。
一元函数的最值模型
它是数学上一类常见的优化问题,这类
问题可以表示为以下模型:
Max(min)f(x)
其中y=f(x)为目标函数,max(min)分别表
示求最大(最小)值。求解此类问题可
以利用微积分学中的导数知识或是借助
于MATLAB求解。
水果的最佳采摘时间模型
又是一个苹果成熟的季节,老王正
为采摘和出售苹果的时间犯愁。如果本
周采摘每棵树可采摘约10kg苹果,此
时,批发商的收购价为3元/kg 。如果每
推迟一周采摘,则每棵树的产量会增
加1kg,但批发商收购价格会减少0.2
元/kg 。8周后,苹果会因为熟透而开始
腐烂。问老王第几周采摘,收入最高?
一、模型准备
此题为求第几周采摘,老王每棵苹果树的
收入最高,其中
收入=产量*单价
二、模型假设与变量说明
1、假设采摘按整周考虑,不考虑分期采摘
的情形;
2、假设老王采摘苹果后立即卖给批发商;
3、假设本周每棵树可采摘10kg,且最近8
周内每推迟一周,一棵苹果树会多长出
等质的苹果1kg;
4、假设第x周采摘时每棵树的收入为R(X)
元,x=0对应本周。
三、模型的分析与建立
第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为
Q(x)=10+x
此时,苹果的销售单价为
p(x)=3-0.2x
所以第x周采摘时农户所得收入为
R(x)=Q(x)p(x)=(10+x)(3-0.2x)
=30+x-0.2x2
四、模型求解
法一 将:收入函数求导,得 :
R (x ) 10.4x
x 2.5 x 2.5 R 31.25
R (x ) ,0得驻点 。把 代入,得到最大收入 元。
四、模型求解
四、模型求解
Fminsearch是求函数最小值,需将
R(x)=30+x-0.2x2转换成
2
-R(x)=-30-x+0.2x 。
选择x=3为初始点,在其周围寻找最小
值。
拓展思考:
1.如果本周采摘,每棵树可采摘约15kg,
问题1的其他条件不变。问第几周采摘,
老王的收入最高?
2.分析苹果现有产量与采摘周数之间的关
系。
3.如果考虑分期采摘,是否会提高收入?
光纤收费标准模型
某地有多家有线电视公司。有限公司A 的光纤收
费标准是14元/ (月*户),目前它拥有5万个
用户。某位投资顾问预测,若公司每月降低1
元的光纤收费,则可增加5000个新用户。
(1)请根据这一预测,为公司制定收费标准,
以获得最大利益。
(2)如果公司每月每户降低1元的光纤收费,只
增加1000个新用户,又该如何制定收费标准?
拓展思考:
1、如果通过调研发现,该公司最多只能拥
商品的销售量在一定程度上受商品价格的影响。
有5.7万个用户,问该如何制定收费标
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