具有单参数空间对称群的向量场及其约化.PDFVIP

( ) 　应用数学和力学 ,第 21 卷 第 2 期 2000 年 2 月 应用数学和力学编委会编 　　　　　　　　　　　 　 　　Applied Mathematics and Mechanics 重 庆 出 版 社 出 版 ( ) 文章编号 :1000-0887 2000 02-0154-07 具有单参数空间对称群的向量场及其约化 黄德斌1 , 2 , 　赵晓华3 ( 1 中国科学院 力学研究所LNM ,北京 100080 ; 2 上海大学 数学系 ,上海 201800 ; 3 云南大学 数学系 , 昆明 650091) (李继彬推荐) 摘要 : 　对于保持某 n- 形式的 n 维向量场, 应用Lie 群的方法得到结论 :当这类向量场有保持 n- 形 式的空间单参数对称群时, 可具体地构造出一个与该向量场无关的变换, 它不仅使向量场约化掉 ( ) 一维, 并且使得约化向量场保持相应的 n - 1 - 形式 ·　特别, 当 n = 3 时, 简单地得到了Mezie 和 Wiggins 最近得到的重要结果 ·　 关 　键 　词 : 　向量场; 　对称群 ; 　Lie 群 ; 　约化 ; 　保持 n - 形式 中图分类号: 　O1525 ;O17512 　　　文献标识码 : 　A 引　　言 Lie 群方法从上个世纪末发展到今天 ,它在微分方程研究中的重要作用越来越受到众多物 理学家和数学家的关注和重视 ,并在理论和实际应用研究中不断得以发展 ·　Olver 在文[ 1 ] 中 比较系统地介绍了Lie 方法的基本内容和一些重要的应用 ·　至今Lie 方法已经发展到微分方 程研究的各方面 , 例如方程的可积性 , Sen 和 Tabor 在文[ 2 ] 中就是用Lie 群的方法构造出了 Lorenz 系统的首次积分 ·　对于高维系统而言, 利用 Lie 群的作用因而降低系统维数而尤显重 要 ·　 众所周知 ,具有单参数对称群的一个 n 维常微分方程组能约化成一个 n - 1 维的方程组, 并且原方程组的解可以通过约化方程的解积分求得 ·　进一步要问原来的 n 维系统与约化后 的 n - 1 维系统之间会有什么联系, 特别地, 如果原来的 n 维系统具有某种便于应用的性质, 经过这种约化后, 该性质是否被保留下来 ·　这是一个在理论和应用方面都具有重要意义的 问题 ·　要回答此问题, 关键是了解系统具有什么样的对称群时, 约化方程才不会使原系统的 某些性质丧失 ·　过去, 由于Hamilton 系统在理论和应用方面的重要性 ,辛流形上的 Hamilton 系 统的约化问题在微分动力系统研究领域曾经是一个十分活跃的研究课题 ·　其现代方法, 即Lie 群方法首次在 Smale 的文章[ 3 ] 中出现 ,后经过 Meyer [4 ] 等人的努力 ,直到 1973 年 Marsden 和 Weinstein 在文[5 ] 中才完美地给出了辛流形的约化程序 ,形成今天动力系统界所熟知的事实 : 一个 n 维 Hamilton 系统当其具有一个单参数 Hamilton 对称群时, 可被约化成一个 n - 2 维的 收稿日期 : 　1997-01-20 ; 修订日期 : 　1999-04-28 ( ) 基金项目 : 　国家