中科院量子力学超详细笔记_第五章_量子力学的表象与表示.pdf

第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 v v 对任意两个波函数ϕ (r ) 、ψ (r ) ，定义内积 ∗ v v v (ϕ ,ψ ) = ∫ϕ (r )ψ (r )dr (5.1) (v) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态ψ r 时，找 到粒子处在状态 (v) ϕ r 的几率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如 下： $ “对任意两个波函数 U ϕ 、ψ ，如果算符 恒使下式成立 ˆ ˆ (Uϕ , Uψ ) = (ϕ ,ψ ) (5.2) 而且有逆算符 ˆ −1 ˆ −1 ˆ ˆ ˆ −1 1 ˆ U 存在，使得U U = UU = I ，称这个算符U 为幺正算 符。” + + 任一算符 ˆ ˆ ˆ A 的厄米算符A 定义为：A 在任意ϕ 、ψ 中的矩阵元恒由 下式左边决定 + ˆ ˆ (ϕ , Aψ ) = (A ϕ ,ψ ) (5.3) 由此，幺正算符 ˆ U 有另一个等价的定义： “算符ˆ U 为幺正算符的充要条件是 + + ˆ ˆ ˆ ˆ UU = U U = I (5.4a) 或者说 + −1 ˆ ˆ U = U 。” (5.4b) + 证明：若 ˆ