二,实变函数与泛函分析课后习题答案book版1.pdf

第一章 可测函数 1.1 第四章可测函数练习题 习题1.1.1 证明：f (x)在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r,集E [f r]可测.如果集E [f r]可测，问f (x)是否可测？ 证明分析：根据可测函数的定义∀t ∈ , E [f t]为可测集，则函数f 为可测 函数. 由题意知道，对于有理数r,集E [f r]可测,那么问题就是如何将已知的有 理数转化到未知的实数上，那么就可以采用有理数在实数中稠密的特征，任何 一个实数都可以用有理数进行逼近的办法然后利用可测集的运算性质的到想 要的结果. 证明中的等式可以参考 课本P80 的引理中的集 证明： 若对任意有理数r, E [f r]可测，则对任意实数α,记{r }为大于α 的一切 合论等式的证明E [f n ∞ ∞ g] ∪ (E [f 有理数，则有E [f α] ∪ E [f r ], 由E [f r ]可测得E [f α]是可测的，所 ∩ n1 n n r ]) E [g r ]在 n n n1 这个式子中仅仅可以 以f (x) 是E 上的可测函数. 取g a, a rn 即可. 若对于任意的有理数r, E [f r]可测，则f (x)不一定是可测的.例如，E (−∞, ∞), z为E 中的不可测集. 对于任意x ∈ z, f (x) √3; x z, f (x) √2,则对任意 有理数r, E [f r] ∅是可测的.而E [f √2] z为不可测的.因此f 是不可测的. 习题1.1.2 设{f n }为E 上的可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测 的. 证明分析：写出收敛点集和发散点集的组成结构，结果一目了然. 证明： 由P82定理6, lim {f n (x)}和lim f n (x)都是E 上的可测函数，显然， n→∞ n→∞ E [limn→∞{f n (x)} ∞]是收敛到∞的点组成的集，而E [ lim f n (x) −∞]是收敛 n→∞ 到−∞的点组成的集合.E [ lim f n limn→∞ f n ]是f n 的不收敛点组成的集.因此f n (x)在E 上