傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略.pdf

傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变 换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z 变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声 学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换 的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它 们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅 里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是： 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来 的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信 号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号 是一组这样 的分量的叠 加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信 号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周 期，或者说，给了一个周期， 我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出 其对应的曲线，就像给出时域上每一点的 信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的 更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数 值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰 好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表 示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系 吗?信号前一段的相位 (频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 (或者余弦波)信号。也就是说，用无 数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就 为采用直观和简便的图解 方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程 图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程 (见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法)，以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法) 提供了可能性。 【拉普拉斯变换】工 程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量 函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作 各种运 算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实 数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解 线性微 分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经 典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变 换的基础上的。 拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微 分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一 个信号从时域上，转换为复频域(s域)上来表示;在线性系统，控制自动化上都有广泛的应 用。 【Z 变换】在数字信号处理中，Z 变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中， 我们往往只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。 那么，为什么还要引进 Z 变换呢? 【三者关系】 Z 变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢?傅里叶变换的物理意义非常清晰：将 通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信 号用幅度、 频率、相位 就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表 示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界，频率是 有明确的物理意义的，比如 说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多;女同胞多高亢清脆， 这主要是因为女声中高频分量更多。对一个 信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及 其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢?因为有的信号 主要在时域表现其特性，如 电容充放电的过程;而