动态最优化基础 重点汇总.pdf

第一章 变分法 第一节 问题的性质（动态优化简介） 一、静态优化问题 如果一个企业要确定一个最优产出水平x ∗ 以最大利润F （x ）： maxx ≥0 F (x) （1） 这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。通常有一阶条件 ′ ∗ F (x ) 0 。 并不是有多期的时间就是动态问题。考虑企业的多期（multiperiod ）问题： ．．．．．．．．．．．．．．． T max ∑F (t, x ) t t 1 xt (t 0,1T ) 描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的 时间路径。显而易见，利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路 径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期 的xt ）。但由于t 期利润只与t 期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利 润，就只要分别在每一期最大化利润即可（这一问题似乎是一种没有资本的很简 单的生产活动）。即这一个问题的解是一个有 T 个数的集合， ∗ ∗ 。所以 x , xT 由于作到一产量只影响该期利润，问题（2 ）实际上是一系列的静态问题，即在 每一期选择当前产量使该期利润最大化。可有类似的 T 个一阶条件。各期的一 阶条件之间没有联系。 二、动态问题 具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未 ．．．．． 来的利润。 ． 1 T x 给定或x (0) x ⎧0 0 max ∑F (t, x , x ) st ⎨ （3 ） t t −1 t 1 xt ≥0, t 1T ⎩ 这个问题中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换 句话说，t 期选择的产量x 不但影响t 期的利润，还会影响到以后的利润。注意， t 上述问题中已指定了x0 ，因为x0 影响到了以后的利润（即总利润）。 问题（3 ）与问题（2 ）不同，它的最优解的 T 个一阶条件不能分别确定， 而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径。每产出一 ．．．．．．．．．．．．． 路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射 关系叫泛函。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为 ．． 目标泛函。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。 ．．．． 问题（3 ）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时 刻的产出（状态）已知。注意初始点有两个维度：时间与状态。有时终结点也给 ．．．． ．．．．． 定的，即已知结