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第三章 医学图像增强 3.1 图像增强概述 3.2 空域图像增强 3.3 频域图像增强 3.3 频域图像增强 3.3.1 傅立叶变换 3.3.2 频域滤波原理与分类 3.3.3 低通滤波器 3.3.4 高通滤波器 3.3.5 频域滤波器与空域模板的转换 3.3.6 同态滤波器 3.3.1 傅立叶变换 1. 连续傅立叶变换及其反变换 2. 离散傅立叶变换及其反变换 3. 二维傅立叶变换的性质 4. 快速傅立叶变换 1. 连续傅立叶变换及其反变换 一维连续傅立叶变换定义： 1. 连续傅立叶变换及其反变换 一维连续傅立叶反变换： 1. 连续傅立叶变换及其反变换 一维连续傅立叶变换几个概念： 1. 连续傅立叶变换及其反变换 一维连续傅立叶变换几个概念： 1. 连续傅立叶变换及其反变换 二维连续傅立叶变换及其反变换： 1. 连续傅立叶变换及其反变换 二维连续傅立叶变换几个概念： 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换 假设连续函数f(x),通过取N个?x单位的采样点，被离散化为一个序列： {f(x0), f(x0+?x) , f(x0+2?x), … ,f(x0+[N–1]? x)} 定义： f(x) = f(x0+ x?x) 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换 其中假设x现在的离散值是：0,1,2, … ,N-1。 {f(x0), f(x0+?x) , f(x0+2?x), … ,f(x0+[N–1]? x)} 表示相对与连续函数的任意N个统一的空间采样 2. 离散傅立叶变换及其反变换 一维离散傅立叶变换对 函数f(x0+x?x)的离散傅立叶变换对有： 2. 离散傅立叶变换及其反变换 二维离散傅立叶变换对: 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换的计算举例 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换的计算举例 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换的计算举例 因为，函数f(x,y)的傅立叶变换是f(x,y)积分的函数 因此，计算每一个傅立叶变换值，原函数f(x,y)的每一个点都需要参与 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换的显示 2. 离散傅立叶变换及其反变换 离散傅立叶变换的显示——对称平移后 3. 二维傅立叶变换的性质 可分离性 平移性 周期与共轭对称 旋转特性 线性与相似性 均值性 拉普拉斯 卷积与相关 3. 二维傅立叶变换的性质:可分离性 可分离性 二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是： 二维DFT可分离为两次一维DFT 应用： 二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次一维FFT实现的 3. 二维傅立叶变换的性质:可分离性 3. 二维傅立叶变换的性质: 可分离性 可分离性成立的推导 先对行（y变量）做变换： 然后对列（x变量）进行变换： 3. 二维傅立叶变换的性质:平移性 平移性定理 平移性的描述 函数自变量的位移的傅立叶变换产生一个复系数 F{f(x-a,y-b)} = exp[-j2?(au+bv)] F(u,v) 3. 二维傅立叶变换的性质:平移性 平移性成立的证明 用一维函数为例进行证明： 设位移为a,f(x-a)的傅立叶变换为： ? F{f(x-a)} = F(u) = ? f(x-a)exp(-j2?ux)dx -? 将积分乘以 1 = exp(-j2?au) exp(j2?au) 且设：v = x-a, dv = dx 3. 二维傅立叶变换的性质:平移性 平移性成立的证明 F{f(x-a)} = F(u) ? =? f(x-a)exp(-j2?ux) exp(-j2?au)exp(j2?au) dx -? ? =exp(-j2?au) ? f(x-a)exp(-j2?ux)exp(j2?ua)dx -? 3. 二维傅立叶变换的性质:平移性 ? = exp(-j2?au) ? f(x-a)exp[-j2?u(x-a)]dx -? ? = exp(-j2?au) ? f(v)ex