工程数学模型及数值方法课堂教程1-4.pdf

工程数学模型及数值方法 1 第1 章 数学模型基础 近几十年来，数学的应用不仅在它的传统领域—工程技术、经济建设发挥着越来越重 要的作用，而且不断地向一些新的领域渗透，形成了许多交叉学科—计量经济学、人口控 制论、生物数学、地质数学等等.数学与计算机技术相结合，形成了一种普遍的、可以实 现的关键技术—数学技术，称为当代高新技术的重要的组成部分. “高技术本质是数学技 术”的观点已被越来越多的人们所接受. 不论是用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科相结合形成交叉学科，首要和 关键的一步就是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型.在高科技，特别是计 算机技术迅速发展的今天，计算和建模正成为数学科学技术转化的主要途径. 什么是数学模型？其实大家很早就碰到了数学模型的问题了，如大家以前熟知的“航 行问题”. 甲乙两地相距750km，船从甲地到乙地顺水航行需 30h，从乙地到甲地逆水航行需要 50h，问船速、水速各是多少？ 如果用 分别表示船速和水速，则有 x,y 30(x y ) 750 50(x y ) 750 实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型.列出方程，原问题就转化纯粹的数学问 题.方程的解x 20km/ h ，y 5km/ h ，最终给出了航行问题的答案. 当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立模型的基本内容已经包含 在解这个代数应用题的过程中了.那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必 要的简化假设（航行中假设船速和水速是常数）；用字母表示待求的未知量；利用相应的 物理规律（匀速运动的位移等于速度和时间的乘积）或其它规律，列出相应的数学式子（二 元一次方程组）；求出数学上的解（x 20km/ h ，y 5km/ h ），用这个答案解释原来问 题（船速和水速分别为20km/ h 和5km/ h ）；最后还要用实际现象来验证上述结果. 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的， 根据特有的内在规律，做出一些必要的简化，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构. 怎样建立数学模型？数学模型有什么重要意义？这个问题很复杂，我们稍后介绍，下 面先看摘自于2011 年第7 期《读者》上的一篇文章，希望大家能够细细体会个中深意. 美国普林斯顿大学、麻省理工学院、弗吉尼亚理工学院合作实施一项计划， 研究了三年半.研究什么？研究猫俯身伸舌头喝碟子里的牛奶时为什么从来不 会弄湿下巴的毛. 三所大学的流体力学家和数学家，都在想这个问题.原来早在 1941 年，美 国的科学家就发现猫喝奶时，伸出的舌头就像一个反转过来的字母 J.也就是 说，舌头向下卷，把奶很快地捞进嘴巴. 自从发明了高速电子摄影，他们发现猫喝奶的技巧复杂而精妙.猫的舌尖很 2 工程数学模型及数值方法 巧妙地只触及奶的表面，像龙卷风一样，只把奶液向下推，再利用地心引力的 反作用力，把奶液像真空管一样吸起来形成一个圆筒形，电光石火之间，送进 口腔. 猫的舌头一秒钟可高速舔4 次，每次喝进0.1 毫升.科学家把喝奶的纪录片 细看，看了三年半，终于算出了猫舌出击的速度和每次卷舌头的频率之间的一 个方程式.再计算猫舌的面积，加进去，就算出了一个“佛罗德函数”的新东西. 一只猫每伸一次舌头舔进多少奶，与猫舌面积和伸缩速度的关系.物理学家在前 面看片、记录，数学家压阵分析数据，推导出了一个天衣无缝的流体力学新公 式. 为什么有此发现？全因为一个叫史托克的流体力学家.一次，他在家里的厨 房喂他的宠物猫喝奶，他抚摸着它，欣赏它的美态，忽然兴起研究猫喝奶的念 头，像牛顿头上掉下了一只苹果，他无意中发现了神迹. 这是一项研究，也是一种激情，来自对生命的好奇和热爱，对动物的欣赏 和呵护.由敏锐的感觉到冷静的深思，成就了西方文明. 这样的研究，中国人觉得无聊——猫喝牛奶有什么好看的？许多父母叫小 孩立志做航天员、当总统.他们喜欢大志向，不屑于在小事上钻研、下功夫.由 猫喝牛奶，西方的学者研究出大学问来，后面有一股动力——最好的教育，是 培养一颗仁心.