当概率成为复数 - 量子概率简介.pdf

当概率成为复数 ——量子概率简介 张江(jakezj@163.com) 写于2010-8-6 一、介绍 与其说量子力学是一门物理，还不如说它是一种数学。数学关心的是符号之间抽象的关 系与结构，而不关心符号对应的实物。这门诞生于量子物理的抽象数学被人们称为量子概率。 量子概率不一定非得描述微观粒子，而可以描述更一般的宏观系统，例如人类的认知现象。 注意，这种应用并不是把人类认知还原为大量的微观粒子，而是将认知主体作为一个完整的 系统，而运用量子概率去描述。正如随机过程作为一个独立的数学分支可以脱离它的原始物 理背景而应用到包括金融、生物等更广阔的系统中一样，量子概率也必将可以作为一套与经 典概率不同的数学分支应用到各种领域之中。 本文绕开了那些繁杂的量子物理试验以及算符、波函数等量子力学的标准讲法，而是从 概率幅可以取复数这个特点切入到量子概率的理论体系中。从这个角度看，量子概率可以说 是将经典概率扩展到复数域之后的数学产物，因此整个量子概率体系的各种结论都可以自然 得到。然而一个疑问是：究竟这样一种纯数学游戏般的概率扩充究竟有什么实际意义呢？本 文试图指出：量子概率——经典概率在复数域的扩充其实刻画的是观察者对于外界信息的不 确定性情况下的描述，这种不确定性要比经典概率不确定更不确定：一个是量子概率考虑到 了观察对观测系统的影响，另一个是考虑到观察者处理信息能力的极限。 本文首先沿着将概率复数化的思路引入复数概率（即量子物理中的概率幅）的概念，之 后为了看到将经典概率与复数概率的不同，我们从几何表示到不兼容属性对，再从不兼容属 性对到复合系统到纠缠态再到贝尔不等式一路下来，其主要的目的就是展示复数概率与经典 概率的区别。然而，这样做的代价是大家对复数概率的整个框架不甚了解。于是，我们在第 四章，又重新用相对正规的数学定义出发，重新介绍了量子概率的体系框架。最后，我们将 把量子概率体系如何应用到人类认知现象作了简单介绍。并进一步针对不兼容属性对以及纠 缠和贝尔不等式的拓广进行了讨论。 二、如果概率可以取复数 1、当i 进入物理学 所谓的复数就是形如下式所表示的数： a bi 其中a 和b 都是普通的实数，而i 则表示 1 ，又称为虚数单位。i 最早进入数学完全 是偶然。在费罗的三次方成的求根公式中，i 会以计算的中间步骤出现，但是又消失在最终 的计算中（参见《虚数的故事》）。因为人们无法想象一个平方等于-1 的数会是什么样子的， 因此人们给它起了一个非常有诗意的名字：虚数（Imaginary number）。 虚数，故名思义，它只存在于人们想象之中，而无法找到任何现实对应。所以，长期以 来，虚数从未真正进入过物理学（尤其是20 世纪以前的经典物理学）领域，因为虚数不可 能表达实实在在的物理量。即使在交流电路分析中，工程师、物理学家们用复数来表示电流 和电压，但那也仅仅是一种“数学技巧”，也就是说，如果我们不用复数，也能完成所有的 运算，而只不过会让计算稍稍复杂一些罢了。 20 世纪以后的物理学开始变得让人匪夷所思了。先是爱因斯坦的相对论打破了人们旧 有的时空观念，接下来量子理论又开始挑战人们头脑中的实在观念。有趣的是，这两个革命 性理论的建立都与虚数i 在物理学中的应用分不开。 首先，在相对论中，虚数i 连带着时间t 和光速c 构成了一个可以与空间相提并论的四 维闵可夫斯基空间，在这个奇妙的四维空间里，物体的匀速运动被转化成了绕原点的旋转。 更有意思的是，与空间等价的坐标系不是时间t ，而是一个乘上了虚数i 的虚时间。 如果说将i 引入相对论中也不过是一种数学技巧（爱因斯坦建立的狭义相对论并不依赖 于四维时空，因此也没有虚数i ）。那么，在量子力学这个更让人费解的物理学理论中引入虚 数i 则是一种不可避免的事情。虚数i 对应的是量子状态的相位，虽然相位仍然不可测量， 但是它却是使得量子系统表现为区别于经典系统的主要原因。进一步，量子力学中虚数i 的 引入，还使得人们对概率的认识过渡到了对概率幅这一可以取复数的类概率量（之所以称之 为类概率量，是因为概率幅的运算法则与经典概率的运算法则完全一致）的阶段。这篇文章 则是从复数概率幅这个角度来介绍量子概率理论的。 2、将概率