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微分几何考试
部分习题答案与提示
March 20, 2012
第第第二二二章章章
1 ．求 曲线r aϕ的曲率 ．
Proof. 提示 ： r ϕ, r ϕ ．
2 ．求 曲线r a ϕ的曲率 ．
Proof. 参考第一题 ．
3 ．求平面 曲线 t a t, a t在任意点的曲率 ．
Proof. 直接计算 ．
4 ．求使 曲线y ex 曲率取得极值的点 ．
Proof. 提示 ： x, ex ．
5 ．求 曲线 x − y 的曲率 ．
a b
Proof. 提示 ： a t, b t ．
6 ．求 曲线的曲率 ，曲线方程为F x, y ．
′ ′′
Proof. 提示 ：设y y x ，两边对x求导数可求得y ，然后求y ．
7 ．设 曲线 由常微分方程P x, yx Qx, yy 给出，求 曲线的曲率 ．
Proof. 提示 ：y − P ．
x Q
8 ．求 曲线x at − t, y a − t, z a t 在点t π 的切线
与z轴 的夹角 ．
′
Proof. 提示 ： xt, yt, zt ，切 向量是 ．
9 ．设有 曲线C x t, y t, z at ，求当t π 时的切线方程 ．
′
Proof. 提示 ： xt, yt, zt ，切 向量是 ．
t −t
10 ．设有 曲线C x e , y e , z t ，求当t 时的切线方程 ．
1
第二章 曲线论
Proof. 提示 ：参考上一题 ．
11 ．曲线x t −t , y t , z tt 上哪些点的切线与平面xy z
平行?
′
Proof. 提 示 ：设 曲线 为 xt, yt, zt ，则切 向量是 ．平 面 的法 向量
为, , ．
12 ．设 曲线 的曲率κ ．在 曲线 的P 点处 的主法 向量 的正 向取一点Q ，使
−−→
得|P Q| ，则Q叫曲线在P 点 的曲率 中心 ， 叫曲率半径 ，以曲率 中心为中
κ κ
心 ，曲率半径为半径在密切平面上作一圆周 ，叫密切圆 ．证 明常 曲率 曲线 的曲
率中心的轨迹是常 曲率的 ．
Proof. 所 求 曲线 为∗ s s ，其 中s是 原 来 曲线 的弧 长 参 数 ．于
κ
∗ ′ τ ∗ ′′ τ τ τ τ ∗ ′
是 κ −κ τ κ ， κ κ κ − κ ， ×
′′ ′ ′′
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