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抛物线的简单几何性质习题二
抛物线的简单几何性质习题二
一、选择题(每小题四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12 =0 上,则抛物线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
2.AB是抛物线的一条过焦点的弦,|AB|=20,AD、BC垂直于y轴,D、C分别为垂足,则梯形ABCD的中位线长是( )
A.5
B.
C.
D.10
3.以的中心为顶点,以左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A、B两点,则|AB|的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点(k,-2)与F点的距离为4,则k等于( )
A.4
B.4或-4
C.-2
D.-2或2
5.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点,如果,那么|AB|等于( )
A.10
B.8
C.6
D.4
6.p是抛物线上一点,p到点的距离为,p到直线的距离为,当取最小值时,点p的坐标为( )
A.(0,0)
B.(2,2)
C.
D.
二、填空题
7.已知F是抛物线的焦点,M是这抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值是_________。
8.有一个正三角形的两个顶点在抛物线上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是_______。
三、解答题
9.已知点A(5,0)和抛物线上的动点P,点M分线段PA为PM:MA=3:1,求点M的轨迹方程。
10.过抛物线的焦点,引倾斜角为120°的直线,交抛物线于A、B两点,求△OAB的面积。
11.试求点P(0,a)(a1)到曲线上点的最短距离。
答案与提示
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.B
二、7.4 8.12
三、9.提示:设M(x,y),
∵PM:MA=3:1
∴,
即,,又点P在抛物线上
∴
∴
即所求点M的轨迹方程为
10.提示:由得p=2,焦点(-1,0),直线
由得,易求得
∴△AOB的面积
11.提示:(1)当,即时,,由图像可知P(0,a)在这条抛物线顶点A(0,1)的正上方,故|PA|=a-1为最短距离
(2)当,即或时,,设抛物线上任意一点,则
∵2a2 ,则可以取到2a,故当时,
∴
(3)比较a-1与的大小。由
①若a(a-4)0即0a4,又a1
∴1a4时,有
∴最短距离为a-1
②若a(a-4)0,即a 4时,,最短距离为
③若a(a-4)=0,即a=4时,最短距离为3
综上所述:a=4时,最短距离为3,
1a4时,最短距离为a-1,
a4时,最短距离为
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