年高考试分类考点离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差.docVIP

考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差 一、填空题 1.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________. (注：方差，其中为x1，x2，…，xn的平均数) 【解析】， . 【答案】6.8 二、解答题 2.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和. （1）求X的分布列. （2）求X的数学期望E（X）. 【解析】（1）X=3，4，5，6， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 3 4 5 6 P (2)X的数学期望E（X）=. 3. 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： 办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频 率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. （Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率. （Ⅱ）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望. 【解析】设表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得的分布列如下： 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 （Ⅰ）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以 . （Ⅱ）方法一:X所有可能的取值为0，1，2. 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以； 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟， 所以 ； X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 ∴. 方法二：X所有可能的取值为0，1，2. 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以； X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以； 所以； 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 ∴. 4.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差. 附： 【解题指南】(Ⅰ)据频率分布直方图可计算“体育迷”， “非体育迷”人数，按照提供的公式，计算相关数值，与所给数据比较，获得结论；（Ⅱ）将所有的基本事件罗列，很容易解决问题. 【解析】(Ⅰ)由所给的频率分布直方图知， “体育迷”人数为， “非体育迷”人数为75，则据题意完成列联表： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将列联表的数据代入公式计算： . 因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. （Ⅱ）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，，从而的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望为，X的方差为. 5. 某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类型试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类型试题的数量. （Ⅰ）求的概率. （Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）. 【解题指南】（I）根据得到两次调题均为类型试题，进而求出概率；（Ⅱ）先求出随机变量的可能取值，再求出取每个值的概率，列出分布列，求出均值. 【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为. （Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为， 随机变量可取，其中X=n,X=n+1,X=n+2,分别意味着两次调题都