数学建模用的十种解题方法.docVIP

数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯有哪些信誉好的足球投注网站、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理1 设式区域D 上的有界函数, 用均匀随机数计算的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ,i=1,…,n在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设, j=1，…k为落在D 中的k个随机数, 则n 充分大时, 有 定理2 用定理1的公式（1）作近似计算时，其方差为 证略。 2 蒙特卡罗计算重积分的一般方法-----任意随机数法 2.1 二重积分的蒙特卡罗算法(一般随机数) 定理3 设区域D上的有界函数，用一般的随机数计算的方法： (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; 取任一概率密度函数，满足； ，i=1,…,n,是以为概率密度的随机数列，设，i-1,…k,为落在D中的随机数，则n充分大时，有 证略。 3 蒙特卡罗计算重积分的最优算法—有利随机数法 任意随机数都能用于积分计算, 对于不同的随机数, 计算结果的方差显然不同, 在定理3 中, 取时，计算方差为零,即方差最小， 称为有利密度函数，以为概率密度的随机数称为有利随机数。这样得到方差最优的蒙特卡罗算法, 叙述如下: 定理5 根据二重积分的最优蒙特卡罗算法(有利随机数), 设区域D上的有界函数，≧0，那么按如下步骤得到方差最优值。 (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω； 取有利概率密度其中c=； ，i=1,…,n,是以为概率密度的随机数列，设，i-1,…k,为落在D中的随机数，则n充分大时，有 实际计算中, 由于c 是要计算的, 不可能事先得到, 所以只能先估算c 。 二、数据处理算法 数据处理算法有数据拟合、参数估计、插值等，比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 1数据拟合 在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数。 例：在某化学反应中，测得生成物的质量浓度y(10/cm)与时间t（min）的关系如表所示 显然，连续函数关系y(t)是客观存在的。但是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差。因此只能寻求一个近拟表达式 y=(t) 寻