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数学选修2—3课标解读 计数原理 1.知识内容的整体定位 “计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中，学生讲学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。 为了更好地理解整体定位，需要明确下面几方面的问题： （1）简单的计数问题讨论的是有限集合所含元素的个数。排列数、组合数都是特定集合所含元素的个数，在讨论简单计数问题时，应明确所讨论的集合中元素的基本特征，这是解决技术问题的基础。 例1 现有5名男生、4名女生排成一行，要求女生排在一起，则共有多少种不同的排法？ 分析：我们所要确定的集合中的元素，满足以下共同特征： 由5名男生和4名女生排成一行； 对男生的排法没有要求； 要求4名女生排在一起。 为了满足这些元素的共同特征，我们分三步实现： 第一步，把男生排好；如图： 图中的a、b、c、d、e分别表示无个男生。 第二步，确定女生的位置；如图： 女生可以占据上图中每一个括号的位置 第三步，把女生排好，为了方便用1，2，3，4表示女生 上图表示了满足元素共同特征的一种排法 为了计算出这个集合中所有元素个数，即一共有多少种排法？我们也是从上述的三步出发 第一步，排好男生有5！种排法； 第二步，女生的位置有种选法； 第三步，排好女生有4！种排法。 根据分布乘法计数原理，可得共有5！4！种不同排法。 当然，这个问题也可以分两步实现元素的特征： 第一步，先排好女生； 第二步，把排好的女生作为一个整体，与男生一起进行排列。 第一步有4！种排法；第二步有6！种排法。根据分布乘法计数原理，可得共有4！6！种不同排法。 无论采用什么样的思路，如前所述，在讨论简单计数问题时，应明确所讨论的集合元素的基本特征，这是解决简单计数问题的基本点。 （2）正确地使用基本计数原理是学习本部分内容的关键。中学数学课程中关于排列、组合的计算公式都是以基本计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用问题的求解，离不开两个基本计数原理，两个基本计数原理是解决简单计数问题的通性通法，排列问题、组合问题以及二项式定理等都是依赖这些通行同法解决的。 例2 在组合数中，有一个基本公式。 这个公式可以通过加法原理加以证明。 证明：从个物体里面取出个物体的组合数可以分成两类计算： 第一类，取出的个物体中，不含有某个物体，不妨设为； 第二类，取出的个物体中，含有。 第一类是由不含有的个物体中取出个物体构成的其，组合数为； 第二类是由含有的个物体中取出个物体再加上构成的，其组合数为。 根据加法原理，上述组合数公式成立。 （3）理解两个基本计数原理使用的条件是正确使用两个基本计数原理的前提。标准要求“能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”。对于计数原理中的分步和分类，学生不是一下子就能深刻理解的，需要教师引导，帮助学生找到分步和分类的特征要求：分类要“类类互斥”，分布要“步步独立”。 在上面的例题中，再到一种具体的排法共分为有顺序的三步，这三个步骤是相互独立的，即“步步独立”。 例3现有5名男生、4名女生排成一行，要求男生、女生各自排在一起，则共有多少种不同的排法？ 分析：我们所要确定的集合中的元素，满足以下共同特征： 由5名男生和4名女生排成一行； 要求5名男生排在一起； 要求4名女生排在一起。 为了满足这些元素的共同特征，我们可以把元素分为两类： 第一类，男生在前，女生在后； 第二类，女生在前，男生在后。 显然，“类类互斥”。 2.课程标准的要求 （1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 （2）排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。 （3）二项式定理 能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.标准要求的具体化和深广度分析 （1）如何认识“通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。” 第一，通过具体问题情境和实际事例，让学生感悟和总结出两个基本计数原理；除教材的实例外，教师可以补充一些事例充实教材，帮助学生更深刻地领悟两个基本计数原理。 第二，在理解具体问题时，应分析问题的特征，明确该问题中的计数问题是用分类还是用分布，或者两者都用。结合具体问题使学生认识：为什么分类要做到“不重不漏”，分布要做到步骤完整。 （2）