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二、整除问题（一）整除性质如果整数a除以整数b（不为0），除得的商正好是整数，那么就称整数a能被整数b整除，或者称整数b能整除整数a，并称整数a是整数b的倍数，整数b是整数a的约数。1．数字整除的特性在数学运算试题中，通常需要考生分析某一数值能否被常见数值整除，因此，我们只有熟悉能被常见数值整除的数字的基本特征，才能快速应用到试题的解答中。表2能被常见数值整除的数字的基本特征分类常见数值数字特征举例分析末一位数或者末几位数2末位数字是0、2、4、6、8的整数12、46均能被2整除5末位数字是0、5的整数60、95均能被5整除4（或25）末两位数是4（或25）的倍数124的末两位数为24，能被4整除，故124能被4整除8（或125）末三位数是8（或125）的倍数7625的末三位数为625，能被125整除，故7625能被125整除分析各位数字之和3（或9）各位数字之和是3（或9）的倍数7916091的各位数值之和为7+9+1+6+ 0+9+1=33，33是3的倍数，不是9的倍数，故7916091能被3整除，不能被9整除分析两部分数字的差值11奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数位数字之和为1+9+0+0=10，偶数位为7+7+2+5=21，而21-10=11，11能被11整除，所被11整除分析两部分数字组成的数的差值7（11或13）一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）是7（11或13）的倍数1059282分为1059和282两个数，由于1059-282=777，777能被7和11整除，不能被13整除，故1059282能被7和11整除，不能被13整除在这些整除特点中，3（或9）的整除特点是行测考试中最常考的，7（11或13）和8（或125）的整除特点较难掌握，考查的可能性较小，但并不意味着不出现，其中对7的整除特性的考查就出现在2010年的试题中。此外，以上给出了能被11整除的数字的两种特征，这两个特征都可以用来判断一个数是否能被11整除。2．整除的扩展特征性质1：如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被数c整除；性质2：如果数a能被数b整除，数b又能被数c整除，那么数a也能被数c整除；性质3：如果数a能被数b与数c的积整除，那么数a也能被数b或数c整除；性质4：如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么数a一定能被数b与数c的乘积整除；性质5：如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除（m≠0）；性质6：如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除；；【经典例题】例1：（2010·北京应届）有大、中、小三种文件夹，大文件夹里装的文件数是小文件夹的5倍，比中文件夹多100件，小文件夹里装的文件数是中文件夹的三分之一，三种文件夹共装了多少件文件？A．300B．420C．450D．550【答案】C【解析一】根据题意可知，大文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的5倍，中文件夹里的文件数是小文件夹里文件数的3倍，故大、中、小三个文件夹里的文件数必能被5+3+1=9整除，分析选项，显然只有C项符合。【解析二】根据题意，设小文件夹里的文件数为x件，则大文件夹里的文件数为5x件，中文件夹里的文件数为3x件，则有5x-3x=100，解得x=50，故三种文件夹共装了50×（5+3+1）=450件文件。例2：（2009·国考）甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?A．75B．87C．174D．67【答案】B【解析】根据题意，由于“甲有专业书13%”，故甲拥有的图书的数量必为100或者200（13为质数，且总数目为260），则此时乙拥有的图书的数量只能为160或者60。由于“乙有专业书12.5%（）”，这就意味着乙拥有的图书的数量必能被8整除，故乙只能拥有160本图书。此时甲的非专业书为（260-160）×（1-13%）=87本。例3：（2009·浙江）甲、乙两个工程队，甲队的人数是乙队的70%。根据工程需要，现从乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是：A．504人B．620人C．630人D．720人【答案】A【解析一】由于“甲队的人数是乙队的70%”，故甲队原有人数必能被7整除，排除B、D项；且乙队原有人数必能被10整除，故乙队人数的尾数必为0。根据“现从乙队抽出40人到甲队”可知，此时甲队人数的尾数与原有人数的尾数相同，由于“此时乙队比甲队多136人”可知，甲队人数的尾数为0-6的尾数，即为4，分析选项，显然只有A项符合。【解析二】根据题意，设甲队原有x人，乙队有y人，则有，解得x=504。【名师点睛】在解答试题时，可结合其他运算技巧，如