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第4章 随机向量的数字特征 课前预习导引 一、大纲解读 1．教学大纲解读 （1）教学内容 数学期望的概念及性质，随机变量函数的数学期望及应用，方差的定义及性质，常用分布的数学期望及方差的求法，切比雪夫不等式。协方差的定义及性质，相关系数的定义及性质。Lindeberg-levy定理和De Moivre-Laplace定理。 （2）教学要求 ①会求随机变量的数学期望和方差，熟悉均值和方差的性质。记住六种常用分布的期望和方差。记住切比雪夫不等式。 ② 求随机变量函数的期望（或求随机向量函数的期望），不必求随机变量函数的分布，可用定理给出的结果直接求。 ③理解协方差、相关系数的概念，会求协方差和相关系数。掌握协方差和相关系数的性质。 ④ 清楚独立必不相关而不相关未必独立。知道二维正态分布中五个参数的概率意义。 ⑤ 掌握Lindeberg-levy定理和De Moivre-Laplace定理，并用以解决实际问题。 2. 考研大纲解读（2010版） （1）考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，切比雪夫（Chebyshew）不等式，矩、协方差、相关系数及其性质切比雪夫大数定律，伯努利（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维—林德伯格（Levy-Lindberg）定理 考试要求理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。 会求随机变量函数的数学期望。③了解切比雪夫不等式。 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。 了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。的概率分布为： 如果级数绝对收敛，则称为的数学期望，简称期望或均值，记作或，即=. 设连续型随机变量的概率密度为，如果广义积分绝对收敛，则称为的数学期望，简称期望或均值，记作，即= 数 学 期 望 的 性 质 数学期望的性质： 如果是一个常数，则； 如果是随机变量，是常数，则； 如果是二维随机向量，则 （推广： 如果是二维随机向量，且和相互独立，则. （推广：当相互独立时，类似有）. 方 差 定 义 设是随机变量，期望存在，如果存在，则称为的方差，记作，即=.而称为的标准差。 常用简易公式. 方差计算 如果是离散型随机变量其概率分布为： 那么 如果是连续型随机变量，其概率密度为，那么 方 差 的 性 质 如果是一个常数，则； 如果是一个常数，则； 如果是一个常数，则； 设和相互独立，则 推论：如果相互独立，是任意常数，那么 . 函数当时，取最小值。 常见 分 布 的 形式及数 字特征 常用离散型 分布表现形式 数学期望 方差 常用连续型 分布表现形式 数学期望 方差 两点分布 指数 分布 (λ0) 二项分布 均匀 分布 泊松分布 (k=0,1…) 正态 分布 随机变量函数的数学期望 设是随机变量，，并且存在，则 若为离散型随机变量，其概率分布为， 则的数学期望为 . 若为连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为 . 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式:设随机变量存在数学期望和方差，试证明：对任意的，有: 二、技能归纳 1. 三、能力提升 1．停下来想一想栏目解惑 第4.1节 随机变量的数字特征 停下来想一想： 这里提示，，若有公式，则.这一方法我们以后会学到的. 解惑： 利用数字特征的性质可以通过两点分布与二项分布的关系从两点分布得到二项分布的数字特征。 停下来想一想： 总结五种常用重要分布的均值公式： 解惑： 一般常用分布的数字特征当作已知结论，可直接使用结果而无需证明。 停下来想一想： 对随机变量函数的均值，对连续型直接用公式（一步法），对离散型，先求函数的分布，再按定义求均值（两步法）可能简单！ 解惑： 一般情况下都尽量利用原来随机变量的分布求随机变量函数的均值，尤其是连续型的情况有时甚至会出现随机变量的函数分布非常难求的情况，极个别情况下才在离散型随机变量函数的分布先求出再计算随机变量函数的期望。 停下来想一想： 公式以后经常要使用到！ 解惑： 当进行复杂运算时右边的运算量通常会比左边的运算量小。 停下来想一想： 总结五种常用重要分布的均值公式： 解惑： 一般常用分布的数字特征当作已知结论，可直接使用结果而无需证明。 习题 4.1（A） 1．一箱产品20件，其中5件优质品，每次抽取1件，共抽取2次，求