李林-2014强化-概率讲义.pdf

导航·领航考研 数学强化班概率统计讲义——李林 第三篇 概率统计 第一讲 事件与概率 考纲要求 1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算. 2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公 式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式. 3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件 概率的方法. 一、事件运算与关系 问题 1 何谓样本空间？何谓随机事件？ 答 随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，样本空间的元素称为样本点. 样本空间的子集称为随机事件. 样本空间称为必然事件，空集称为不可能事件，只含一个样本点的子集称为 基本事件. 由于随机事件是样本空间的子集，因此可以用集合方法研究事件. 问题2 叙述事件的关系与运算. 答 事件的关系与运算有 ⑴包含：若 A 发生必导致B 发生，则称A 包含于B ，记作A ⊂B ； ⑵相等：若 A 包含于B 且B 包含于 A ，则称A 与B 相等，记作A B ； ⑶和事件：“ A 与B 至少发生一个”称为A 与B 的和事件，记作A UB ； A 与B 同时发生”称为A 与B 的积事件，记作A IB 或者AB ； ⑷积事件：“ A 发生，B 不发生”称为A 与B 的差事件，记作A −B 或者AB ； ⑸差事件：“ ⑹逆事件(对立事件)：“ A 不发生”称为A 的逆事件或者对立事件，记作A ； ⑺互不相容（互斥）：若A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容或者互斥，记作AB =∅； ⑻完备事件组：若 A U A ULU A Ω ，A A ∅(1 ≤i j ≤n ) ，则称A , A ,L, A 为完备事件组； 1 2 n i j 1 2 n ⑼ A 与B 相互独立：P (AB ) P (A)P (B ) ； ⑽n 个事件 A , A ,L, A 相互独立：其中任意k (2 ≤k ≤n) 个事件的积的概率等于它们的概率之积. 1 2 n 问题3 叙述事件的运算律. 答 事件的运算律就是集合的运算律，主要有 ⑴交换律：A UB B UA ，AB BA ； ⑵结合律：(A UB ) UC A U(B UC ) ，(AB )C A(BC ) ； ⑶分配律： A(B UC ) (AB ) U(AC ) ，A U(BC ) (A UB )(A UC ) ； ⑷对偶律： A UB A IB ，A IB A UB . 问题4 证明下列关于独立性的命题： ⑴若 A 与B 独立，则 A 与B ，A 与B ，A 与B 独立. 1 导航·领航考研 数学强化班概率统计讲义——李林 ⑵当P (A) 0 ，P (B ) 0 时，若A 与B 互斥，则A 与B 不独立. ⑶当P (A) 0, P (B ) 1 时，若A ⊂B ，则A 与B 不独立. ⑷概率为0 （或者概率为1）的事件与任一事件A 独立，特别，不可能事件∅与任一事件A 独立，必然事 件Ω 与任一事件A 独立. ⑸若n 个事件 A , A ,L, A 相互独立，则它们两两独立，其逆命题不成立. 1 2 n