求解排列合应用题的.docVIP

求解排列组合应用题的“八字诀” 分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。 特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。 反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。 等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。 化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。 捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。 插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。 推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。 若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。 例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种 A． B． C． D． 解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数. 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数. 第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数，再把水彩画插在国画和油画之间. ∴满足条件的陈列方式有：种故选D。 评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。 例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即种故选B。 例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？ 解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：。 第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数： 第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：. ∴满足条件的排法数为：8×24×3=576. 评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手； ②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧； ③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。 例5．编号为1.2.3……n的n个人，坐到编号为1.2.3……n的n把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为。求，。 解：易见：=0 , ，， ∵n个人坐到n把不同的椅子上的方法数为。其中： 有且仅有n个对号入座的方法数为：1. 有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：. 有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：. 有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：. …………………………………………………… 有且仅有（n-k）个人对号入座的方法数为：. …………………………………………………… 有且仅有1个人对号入座的方法数为：. 有且仅有0个人对号入座的方法数为：. ∴=1++++……++. 令n=4可得：24=1+++=1+6+8+ ∴=9. 令n=5可得：120=1++++=1+10+20+45+，=44. 评注：①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。 ②在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。 ③从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n个元素对n个位置的错位排列问题。 例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（ ） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种 解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1