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概率论知识梳理
中南大学概率论与数理统计复习讲义
概率论部分知识梳理
第一章随机事件与概率
不妨先来看看这一章到底普及了些什么概念:
1. 随机事件:顾名思义,随机事件就是随机发生的事件,不过你认为教科书中岂
会也像我这样白话文翻译遍就完事了吗?随机事件在一次试验中是否能够发生
是不确定的,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一种规律性。
2. 随机试验:很多孩子把随机事件与随机试验混为一谈,认为这是一个概念的两
个说法罢了,这么想就大错特错了。事实上试验是比事件更宏观的一个概念,
一个试验往往是包含很多个事件的。
3. 随机试验的特点:相同条件下可以重复做(也就是这个实验一定是无论什么时
间,什么地点,以及无论谁都可以做的);试验结果可能不止一个,但试验前可
以明确知道所有可能的结果;结果不可以预言。
4. 样本空间、样本点:随机事件E 的所有可能的结果组成的集合称之为E 的样本
空间,样本空间里面的每一个点称之为样本点。
5. 事件的关系与运算:包含与相等,和与并,积与交,事件的差,事件互不相容,
对立事件(逆事件),交换律,结合律,分配律,吸收律,对偶公式(德摩根律),
文氏图,完备事件组。
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中南大学概率论与数理统计复习讲义
6. 德摩根律:交补补并,并补补交 (交集的补集是补集的并集,并集的补集是补
集的交集)。
7. 频率与概率:不用太多的篇幅去解释这两个即便解释了你也不会去看的概念,
一句话总结:频率捉摸不定,概率确定唯一。
8. 概率的公理化定义:这个定理逼格可高了,以至于你一眼看去感觉是然并卵,
之后会详细说明为什么教科书中会放一个这样的定义进来,值得注意的是定理
中的三个性质:非负性;规范性;可列可加性。
9. 概率公理化定义的注解:数学上所说的“公理”就是一些不加证明而承认的前
提,这个公理化定理只是界定了概率这个概念所必须满足的一些性质,它并不
解决具体场合下的概率计算问题,但是我们常常可以用它来判断某事件函数 P
是否是概率。
10. 概率的加法公式:P (A B ) P (A) P (B ) P (A B ) 。这个公式重要的并不
是它本身,而是:P(A B C ) P(A) P(A B) P(A B C ) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结:加多了减,减多
了加。
11. 概率的减法公式: P(A -B) =P(A) -P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB) ,当B A 时,
P(A-B)=P(A)-P(B) ,当A=Ω时,P( B )=1- P(B) 。
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中南大学概率论与数理统计复习讲义
12. 概率的古典定义与几何定义:这两者的区别大致可以用样本数量是有限还是无
穷来区分,值得注意的是,几何定义派生出了考试经典陷阱:概率为0 的事件
不一定是不可能事件,概率为1 的事件不一定是必然事件。
13. 条件概率:在事件 B 已经发生的条件下,求事件 A 发生的概率,记
P (AB )
为: P (B A) 。条件概率的几个性质尤其注意:非负性;规范性;可列
P (A)
可加性。看到这三个性质,想到什么了吗?没错就是概率的公理化定义,条件
概率符合这三个条件,因而概率的性质完全适用于条件概率,条件概率无非就
像是一个装了一个极具个性的手机壳的手机罢了。
14. 乘法定理:聪明的孩子立刻会发现这个公式不就是条件概率公式的简单变形
吗?没错,但是教材把它拿出来可绝对不是在给你复习小学数学中的移项问题,
编者是在向你灌输一种思想,A 与B 同时发生的概率等同于B 在A 先发生了的
条件
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