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概率论模型

第三篇 概率论模型 在概率论的应用实例中,通过对应用问题建模主要培养处理随机问题的能力,掌握 归纳和处理随机现象的思想方法。学会应用期望值和标准差衡量随机现象的特征、归纳 随机现象的基本规律和特征、解决在不确定环境下的风险管理和决策问题。 解决不确定问题首先遇到概率的计算问题,常用到的计算方法有古典概型、加法公 式、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式等。与此相关的应用实例有:彩票 中奖概率的计算,至少两人生日在同一天,有趣的蒙特莫特(Montmort )问题,论掷骰 子游戏中的概率计算,意料之外“数理”之中!敏感性问题调查,抽签(抓阄)公平吗, 对于疑难病症要进行综合检查,说谎的孩子,如何追究责任等。 描述随机现象的常用方法是用随机变量,这样就便于用分析的方法来处理,许多不 确定应用问题可以用常见的随机变量来描述,如二项分布、泊松分布、均匀分布和正态 分布等;计算不确定性问题的平均值和波动程度用随机变量的数学期望与方差(或标准 差)才比较客观。关于随机现象分布的归纳和随机变量的数学期望的应用实例有:泊松 (Poisson)分布与突发事件概率的计算,选择题的给分标准,分赌本问题,奖品的诱惑下切 勿上当,选择题能考出真实成绩吗?“摸大奖”真的免费吗?赌徒输完问题,考试成绩的 标准分,几种保险理赔的概率分布及其在保险实务中的应用,计算机网络病毒随机传播 的概率模型,求职面试问题(动态决策问题) ,减少验血的工作量,报童的策略(随机存储 问题) ,建大厂还是建小厂?应该定购多少本挂历,可使总利润最大?正态分布的应用, 如何有效安排人力等。 有些不确定性问题需要用多个随机变量来描述和解决,根据多维随机变量的分布与 数字特征对所要解决问题进行优化,如组合证券投资决策的均值——方差模型等。应用 多维随机变量解决应用问题的实例有:这样找庄家公平吗?配对问题—— 蒙特莫特问题 的继续讨论,组合证券投资决策模型等。 大数定律反映相互独立的随机变量的平均值依概率收敛于一个常数的特征,中心极 限定理反映的是一系列相互独立的随机变量和的极限分布为正态分布的特征,大数定律 与中心极限定理在保险精算等方面有着广泛的应用。与大数定律和中心极限定理相关的 应用实例有:中心极限定理的例子,蒲丰投针与蒙特卡洛(Monte—Carlo )方法,随机变 量平均值的稳定性,大数定律在保险中的应用,人寿保险问题,电影院座位数的设定, 价格预测,产品市场占有率的预测等。 130 3.1 彩票中奖概率的计算* 近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民” 的行列,目 前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案:先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码,每组摇出一 个,然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任 选 6 个(可重复)基本号码,从 0~4 中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中 奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级,如表 3.1.1 。 表 3.1.1 传统数字型玩法中奖说明(x 表示未选中的号码) 中奖 10 选 6+1 (6+1/10 ) 等级 基本号码+特别号码 说明 一等奖 abcdef+g 选 7 中(6+1 ) 二等奖 abcdef 选 7 中(6 ) 三等奖 abcdex xbcdef 选 7 中(5 ) 四等奖 abcdxx xbcdex xxcdef 选 7 中(4 ) 五等奖 abcxxx xbcdxx xxcdex xxxdef 选 7 中(3 ) 六等奖 abxxxx xbcxxx xxcdxx xxxdex xxxx

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