第11章 微分方程习题详解.pdf

第十一章 微分方程习题详解 第十一章 微分方程 习 题 11-1 1．判断下列方程是几阶微分方程？ 2 dy   3 （1）  ytant 3t sint 1； （2）(7x6y)dx(xy)dy0； dt   （3）xy( ) 2yy x02  ； （4）xy 2(y ) xy0 4 2 ． 解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶． 所以有， （1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）  ， 2 ； xy 2y y 5x （2）  ， ； y y 0 y 3sinx4cosx （3）   ， 2 x ； y 2y y 0 y x e （4）  2   ， ． (xyxy) xy( ) yy 2y 0 y ln(xy) 解 （1）将y 10x 代入所给微分方程的左边，得左边10x2 ，而右边＝2(5x ) 10x 2 2 左边，所以 2 是  的解． y 5x xy 2y y 3cosx4sinx y 3sinx4cosx  （2）将 ， 代入所给微分方程的左边，得左边 (3sinx4cosx)(3sinx4cosx)0 右边，所以y 3sinx4cosx 是所给微分方程 y y 0 的解． （3）将 2 x ，  x 2 x ，  x x 2 x 代入所给微分方程的左边，得 y x e y 2xe x e y 2e 4xe x e 左边 x x 2 x x 2 x 2 x x （右边）， (2e 4xe x e)2(2xe x e)x e 2e 0 2 x   所以y x e 不是所给微分方程y 2y y 0的解． （4）对y ln(xy)的两边关于 求导，得x 1 y  y   ， x y 即 xyy yxy ． 再对 求导，得x  2     yy xy( ) xyy y y xy ， 即  2   ， (xyxy) xy( ) yy 2y 0  2