第14章 稳定状态模型.pdf

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第14章 稳定状态模型

第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述,但是对于某些 实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义 下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值,在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程,而可 以利用微分方程稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念,然后列举几个这方面的建模例子。 §1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程(组)是自治的,如果方程(组) f x t ⎡ 1( , )⎤ dx ⎢ ⎥ F x t M (1) dt ( , ) ⎢ ⎥ f t ⎢⎣ N ( ) ⎦⎥ 中的F (x , t) F (x ) ,即在F 中不含时间变量t 。 事实上,如果增补一个方程,一个非自治系统可以转化自治系统,就是说,如果定 义 ⎡x ⎤ ⎡F (x , t)⎤ y ⎢ ⎥,G(y ) ⎢ ⎥ t 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 且引入另一个变量s ,则方程(1)与下述方程 dy G(y ) ds 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统,这样的系统也称 为动力系统。 定义 2 系统 dx F (x ) (2 ) dt 的相空间是以(x ,L, x ) 为坐标的空间R n ,特别,当n 2 时,称相空间为相平面。 1 n 空间R n 中的点集 {(x , L, x ) | x x (t)满足(2),i 1,L,n} 1 n i i 称为系统(2 )的轨线,所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足F (x ) 0 的点x 称为系统(2 )的奇点(或平衡点)。 0 0 奇点可以是孤立的,也可以是连续的点集。例如,系统 ⎧dx(t) ⎪⎪ dt ax +by ⎨ (3 ) dy t ⎪ ( ) cx +dy ⎪⎩ dt 当ad −bc 0 时,有一个连续的奇点的集合。当ad −bc ≠0 时,(0,0) 是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇

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