第14章 稳定状态模型.pdf

第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可 以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。 §1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组） f x t ⎡ 1( , )⎤ dx ⎢ ⎥ F x t M （1） dt ( , ) ⎢ ⎥ f t ⎢⎣ N ( ) ⎦⎥ 中的F (x , t) F (x ) ，即在F 中不含时间变量t 。 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定 义 ⎡x ⎤ ⎡F (x , t)⎤ y ⎢ ⎥，G(y ) ⎢ ⎥ t 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 且引入另一个变量s ，则方程（1）与下述方程 dy G(y ) ds 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称 为动力系统。 定义 2 系统 dx F (x ) （2 ） dt 的相空间是以(x ,L, x ) 为坐标的空间R n ，特别，当n 2 时，称相空间为相平面。 1 n 空间R n 中的点集 {(x , L, x ) | x x (t)满足(2),i 1,L,n} 1 n i i 称为系统（2 ）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足F (x ) 0 的点x 称为系统（2 ）的奇点（或平衡点）。 0 0 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 ⎧dx(t) ⎪⎪ dt ax +by ⎨ （3 ） dy t ⎪ ( ) cx +dy ⎪⎩ dt 当ad −bc 0 时，有一个连续的奇点的集合。当ad −bc ≠0 时，(0,0) 是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇