第2讲连续与间断.pdf

第二讲连续与间断 1. 函数的连续与间断 函数f (x ) 在点x0 连续的等价命题 lim f (x ) f (x ) lim f (x +Δx ) f (x ) 0 0 0 x →x Δx →0 0 lim Δy 0 f (x −) f (x ) f (x +) 0 0 0 Δx →0 左连续 右连续 ∀ε 0,∃δ 0, 当 x −x0 =Δx δ 时, 有 f (x ) −f (x 0 ) =Δy ε Next 1 例 设对任意x , y ,f (x) 满足f (x + y ) =f (x) +f (y ) , 并且 lim f (x ) 0 , 证明:f (x) 在(-∞, +∞) 上连续 x →0 解 任取x ∈(-∞, +∞) , 要证明: lim Δy 0 Δ→x 0 即 lim[f (x +Δx) −f (x)] 0 Δx→0 由条件知 f (x +Δx) f (x) +f (Δx) ⇒f (x +Δx) −f (x) f (Δx) ⇒lim [f (x +Δx) −f (x)] lim f (Δx) 0 Δx→0 Δx→0 ⇒ lim Δy 0 ⇒f (x) 在x 点处连续 Δ→x 0 2 Previous Next f (x) 在x0 处连续的三要素： (1) f (x) 在某邻域 N (x0 ) 内有定义； (2) lim f (x ) 存在; x →x0 (3) lim f (x ) f (x 0 ). x →x 0 有一条不满足，x0 为f (x) 间断点. Previous Next 3 间断点分类 第一类间断点 f (x0−) 及f (x0+ ) 均存在 f (x 0−) f (x 0+ ), 称x0 为可去间断点; ⎧ ⎨ − + f (x ) ≠f (x ), 称x 为跳跃间断点. ⎩ 0