第4章罚函数法.pdf

§4.1 罚函数法 §4.2 障碍函数法 §4.3 广义乘子法 第四章 约束最优化的加权方法 §4.1 罚函数法 ◆从拉格朗日乘子法谈起 乘子法是研究带约束的极值问题的有效方法之一。从高等数学中拉格朗日乘子法开始，对它的研究一直 不断。在拉格朗日乘子法的基础上又给出了罚函数法、障碍函数法、广义拉格朗日乘子法 （也简称为广义乘 子法）对带约束的极值问题的求解方法。这些方法统称为广义乘子法。 ▲拉格朗日乘子法的基本原理 对等式约束问题 minf (x)  st.. gx( )0 引入拉格朗日（Lagrange）乘子 ，并定义增广拉格朗日函数  Lx( ,) f(x)gx( ) 则原问题的解可转化求解 minLx( ,) 由高等数学知，该问题有解的必要条件是： Lx( ,)0 即： ，  Lx( ,)f g 0  Lx( ,)g 0 x  注： ①由后式得 “解（最小点）在边界上得到”（即满足g 0 ）； T g f f g 0  Lx( ,) ②由前式得 即 ；如果将它代入 中可用解决无约束问题的方 T g g 法求解； f (x) gx( ) f g ③ 与 的极值点相同，即 。 ④事实上，求解minLx( ,)是运用无约束问题的最优化方法来求解的，一般无法求得上述 联立方程组。 46 操华胜：最优化方法 minf 2x y 2xy2 2 △例题1 求解  st.. xy1 解 定义 Lx( ,)2x y 2xy(xy1)2 2 则作Lx( ,)0如下， 4x2y0， 2y2x0， xy10 2 3 2 解得x ，y  ， 。 5 5 5 2 3 1   则求得f ,  min   5 5 5   minf 2x y 2xy2 2   st.. xy1 △关于拉格朗日乘子法的讨论