第一章 生存分布理论基础.pdf

第一节 寿命与生存分布 第一节 寿命与生存分布 一、寿命的概率分布与生存函数 新生儿在x岁之前死亡的概率 F (x ) Pr(X x ), x 0. 假定寿命极限为w，满足： (1)F (0) 0; (2)F(w) 1. 寿命的生存函数 随机变量X 的生存函数 S (x) Pr(X x) 1F (x), x 0. 假定寿命极限为w，满足： (1)S (0) 1; (2)S(w) 0. 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率 Pr(x X z) S(x) S(z) 寿命的密度函数   f (x ) F (x ) S (x ). 概率意义为在x点附近极小区间失效的速率； 满足属性： (1)f (x ) 0; x w (2)0 f (x )dx F (x ), x f (x )dx S (x ); w (3)0 f (x )dx 1. 平均寿命 w E X x f (x )dx   0 x 例.假设某人群的生存函数为 求： S (x) 1 ,0 x 100. 100 （1）刚出生婴儿活过60岁的概率； （2 ）刚出生婴儿在70~80岁间死亡的概率； （3 ）活到40岁的人活不到70岁的概率； （4 ）计算平均寿命。 二、余命的概念分布与生存函数 x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x) . 剩余寿命分布函数 F (t ) Pr(T (x ) t ) q ,t 0. T t x t qx Pr (T (x) t ) Pr ( X x t X x) S (x) S (x t ) S (x) 寿命变量和剩余寿 命变量的区别？ 前者是无条件概率，后者是条件概率； 特别地. (1) q F (t ); t 0 (2) q 记为q ; 1 x x (3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x) S (x t ) S (x t u)     S (x) 剩余寿命的生存函数 ST ( x) (t ) Pr (T (x) t ) Pr (X t x