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结构动力学 第5章 动力反应 数值分析方法 主要内容： 主要内容： 数值算法中的基本问题 分段解析法 中心差分法 一般时域逐步积分法的构造 Newmark — β法 Wilson — θ法 时域逐步积分算法的新发展 结构非线性反应分析 5.1 数值算法中的基本问题 前面介绍了二种结构动力反应分析方法： 时域分析方法—Duhamel积分法， 频域分析方法—Fourier变换法。 这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。当 外荷载p (t)为解析函数时，采用这两种方法一般可以得 到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得 到解析解，通过数值计算可以得到动力反应的数值解。 这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体 系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入 物理非线性 （弹塑性），或结构位移较大时，结构可 能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。此时 可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。 5.1 数值算法中的基本问题 时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法： （1）分段解析法； （2 ）中心差分法； （3 ）平均常加速度法； （4 ）线性加速度法； （5 ）Newmark －β法； （6 ）Wilson －θ法。 ••••••••• 时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研 究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。 5.1 数值算法中的基本问题 采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel积分， Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性 的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是 线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。 时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移 和速度为： u u(t ) , u u(t ) , i 1, 2, L i i i i 而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不 一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间 点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。 5.1 数值算法中的基本问题 离散的定义？ 采用等时间步长离散时，ti =i Δt，i=1, 2, 3,…。 体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满足。 Δt——离散时间步长 5.1 数值算法中的基本问题 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断： 收敛性：当Δt→0时，数值解是否收敛于精确解； 计算精度：截断误差与时间步长Δt 的关系，若误差 n ε∝ O( Δt )，则称方法具有n阶精度； 稳定性：随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷 大（远离精确解）； 计算效率：所花费的计算时间的多少。 一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度 (例如2 阶，满足工程要求)、良好的稳定性、较高的计算效率。 在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费 时的方法，在实际中得不到应用和推广。 5.1 数值算法中的基本问题 根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为 两大类： 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark— β法、Wilson— θ法。 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联 立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线 性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时 域逐步积分法— 中心差分法和Newmark— β法，同时 也介绍Wilson— θ法，最后介绍非线性问题分析方法。 5.2 分段解析法 （Pi