量子统计-第五章-玻色统计.pdf

第五章波色系统：波色-爱因斯坦凝聚 5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚 回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程： 这里比容 平均热波长 易逸度z 的定义为 其中μ为化学势。对波色气 体，我们有： 由定义知显然成立； 可由动量为0 的态的平均占据数 确定。函数 一般地由下式确定： 当z取0至1的值时， 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0 的 值）。对于n1有: 这是黎曼Zeta 函数。当 发散。容易发现 • 产生凝聚的条件： 把比容的方程改写为： 凝聚要求 当 时，这必然成立。 这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为 零的粒子组成。 分割面方程由 确定，由此可得临界温度 和临界比容 (固定温度T 时): 当 （v一定）或 （T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生 波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级。 • 大V极限下的易逸度z ： 右图1为比容物态方程的 图形解，图2展示固定v时 z和 的关系。 对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。 由上面的图形解可知在大V极限下我们有： • 填布数 与温度和比容的关系（大V极限下）：利用 和上面的 结果可得： 粒子在动量空间里凝聚。T=0 时所有粒子都占据p=0态。 • 物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 它最多是 的 量级，对大系统可忽略。因此物态方程为 物态方程在 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。 • 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能： 熵： 定容比热： 在T=0 附近我们有 这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 处 比热是连续的（因 发散），比热的导数不连续。 5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚 考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V ，系统处于低温且相互作用为二体 碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量修正近似为散射长度a0的排斥势的一级项： 这里我们把势能项看作微扰。 设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 其中 为单粒子态中粒子的 填布数。在一级近似下，系统能量为： 成立条件为 k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动 量较小的态。 在基态，我们让 其它所有 为零，基态能量为： 而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达 式可进一步近似为： 下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 并用n代表 能 量的动能部分记为 记 ，配分函数为： 其中 为理想波色气体的配分函数。 是对理想波色气体的统计平均。 每个粒子的自由能为： 压强可由自由能得到： 注意到对理想波色气体有： 作近似 后可得： 因此这个相变在当前的近似下是二级相变。 在一级近似下，系统能量的推导： 以填布数 表示的波色系统对称波函数可写为（P表示置换操作）： 因此 我们需要先从N个粒子里取出一对粒子再做置换，其方法数为： 于是上面可化为： 利用 可以发现 于是 5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理 实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。 1995年：三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色- 爱因斯坦凝聚现象。 实验的基本原理有两个： （1）多普勒致冷（动量空