初中数学竞赛知识点归纳定理.docVIP

1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中竞赛需要，重要 托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 初中竞赛需要，重要 梅涅劳斯定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q、C的平分线交边AB于R，、B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 不用掌握 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 不用掌握 、塞瓦定理：设ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 初中竞赛需要，重要 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 不用掌握 塞瓦定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 不用掌握 西摩松定理：从ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线) 初中竞赛的常用定理 西摩松定理的逆定理：(略) 初中竞赛的常用定理 1切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 1圆的外切四边形的两组对边的和相等 1弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 1推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 1相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 1推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 斯特瓦特定理 有三角形ABC，D为角A平分线与BC边的交点，则有以下定理： AB（2）·DC＋AC（2）·BD－AD（2）·BC=BC·BD·DC 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=∠2，又3=∠4，ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=∠DCP，5=∠6，ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 。＋得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 　　 梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 　　或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一： 　　过点A作AGBC交DF的延长线于G, 　　则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 　　三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二： 　　过点C作CPDF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 　　所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 　　它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 　　 梅涅劳斯(Menelaus)定理 证明三： 　　过ABC三点向三边引垂线AABBC