高职 公共课 线性代数3.pptVIP

【解】对系数矩阵A作初等行变换，化为行最简形矩阵，有 可得题设方程组的通解方程组 由此可写出所求通解 3.6.2 非齐次线性方程组解的结构 设有非齐次线性方程组 它也可写作向量方程 Ax=b, (3.24) 称Ax=0为Ax=b对应的齐次线性方程组(也称为导出组). 性质3 设η1，η2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则η1-η2是对应的齐次线性方程组Ax=0的解. 证明 A(η1-η2)=Aη1-Aη2=b-b=0， 即η1-η2为对应的的齐次线性方程组Ax=0的解. 性质4 设η是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ为对应的齐次线性方程组Ax=0的解，则 . ξ+η为非齐次线性方程组Ax=b的解. 证明 A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b， 即ξ+η是非齐次线性方程组Ax=b的解 定理2 设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的通解，则x=ξ+η*是非齐次线性方程组Ax=b的通解. 证明 根据非齐次线性方程组解的性质，只需 证明非齐次线性方程组的任一解η一定能表示为η*与Ax=0的某一解ξ1的和. 为此取ξ1=η-η*.由性质3知，ξ1是Ax=0的一个解，故 η=ξ1+η*， 即非齐次线性方程组的任一解都能表示为该方程组的一个解η*与其对应的齐次线性方程组某一个解的和 综合前述讨论，设有非齐次线性方程组Ax=b，而α1，α2，…，αn是系数矩阵A的列向量组，则下列四个命题等价： (1) 非齐次线性方程组Ax=b有解； (2) 向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示； (3) 向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，b等价； (4) r(A)=r(A┆b). 由r(A)=r(A)=25，知方程组有无穷多解，且原方程组等价于方程组 将它们分别代入方程组(3.25)的导出组中，可求得基础解系 求特解：令x3=x4=x5=0，得x1=-9／2，x2=23／2，故所求通解为 其中c1，c2，c3为任意常数 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 线性相关性的概念 3.4.2 线性相关性的判定 3.4.1 线性相关性的概念 定义 给定向量组A： α1，α2，…，αs ，如果存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0 则称向量组A线性相关，否则称为线性无关. 从上述定义可见： (1)向量组只含有一个向量α时，α线性无关的充分必要条件是α≠0.因此，单个零向量0是线性相关的. （式一） 进一步还可推出，包含零向量的任何向量组都是线性相关的.事实上，对向量组α1,α2，…，0，…，αs恒有 0α1+0α2+…+k·0+…+0αs=0 其中：k可以是任意不为零的数，故该向量组 线性相关. (2)仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例.两向量线性相关的几何意义是这两个向量共线. (3)三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 最后我们指出，如果当且k1=k2=…=ks=0时(式一)才成立，则向量组α1，α2，…，αs是线性无关的，这也是论证一向量组线性无关的基本方法. 3.4.2 线性相关性的判定 定理1 向量组α1，α2，…，αs (s≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 证明 必要性 设α1，α2，…，αs线性相关，则存在s个不全为零的数k1，k2，…，ks ，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立. 不妨设k1≠0,于是 充分性 设α1，α2，…，αs中至少有一个向量能由其余向量线性表示，不妨设 即 故α1，α2，…，αs线性相关. 即α1可由其余向量线性表示. 定理2 设有列向量组 (j=1,2,…,s) 则向量组α1，α2，…，αs线性相关的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αs)的秩小于向量的个数s. 推论1 s个n维向量组α1，α2，…，αs线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αs)的秩等于(小于)向量的个数s. 推论2 n个n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αn)的行列式不等于(等于)零. 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立. 推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关. 定理3 若向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任一部分组皆线性无关. 定理4 若向量组α1，α2，…，αs ，β线性相关，而向量组α1，α2，…，αs线性无关，