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正定二次型的判别 对于给定的二次型，可用定义来判别它是否正定，但一般来说，这是比较麻烦的.下面介绍几个判别定理. 定理7 n元二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是其正惯性指数等于n. 证明 必要性若二次型f(x1,x2,…,xn)正定，则由定理6知，它经过满秩变换x=Cy变成的标准型d1y21+d2y22+…+dny2n也正定.再根据定理5得，d1,d2,…,dn全大于零，因此它的正惯性指数为n. 充分性 若二次型f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数为n，它经过满秩变换x=Cy变成的标准型为 d1y21+d2y22+…+dny2n 正惯性指数为n，说明d1,d2,…,dn全大于零，由定理5知d1y21+d2y22+…+dny2n正定，由定理6知，原二次型f(x1,x2,…,xn)也正定.下面从二次型的矩阵出发给出判别方法. 定义4 如果二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx是正定二次型，则称对应的对称矩阵A是正定的. 由定理7容易得到 定理8 n元二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是：它的矩阵A的特征值全大于零. 证明 因为对二次型f(x1,x2,…,xn)可以做正交变换x=Uy 得到标准型 f(x1,x2,…,xn)=λ1y21+λ2y22+…+λny2n 其中λ1,λ2,…,λn是f(x1,x2,…,xn)的矩阵A的特征值.由定理7可得f(x1,x2,…,xn)正定当且仅当λ1,λ2,…,λn全大于零. 推论1 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设A是正定矩阵，于是有正交矩阵U，使得 所以detA=(detU) λ1λ2…λn det(U-1)= λ1λ2…λn(detU)2＞0 其中λ1,λ2,…,λn全大于零.由于UT=U-1，故有 所以 detA=(detU)λ1λ2…λndet(U-1)=λ1λ2… λn(detU)2 ＞0 定义5 在n阶方阵A中，取第i1,i2,…,ik行及第i1,i2,…,ik列(即行标与列标相同)所得到的k阶子式称为A的k阶主子式. ?定义6 在n阶方阵A中取第1，2，…，k行及第1，2，…，k列所得到的k(k≤n)阶子式，称为A的k阶顺序主子式. 定义7 设f(x1,x2,…,xn)是二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,…,cn (1) 如果都有f(c1,c2,…,cn)＜0，则称f(x1,x2,…,xn)是负定的； (2) 如果都有f(c1,c2,…,cn) ≥0，则称f(x1,x2,…,xn)是半正定的； (3) 如果都有f(c1,c2,…,cn) ≤0，则称f(x1,x2,…,xn)是半负定的. 定义8 如果二次型f(x1,x2,…,xn) =xTAx是负定(半正定、半负定)的，则称对应的对称矩阵A为负定(半正定、半负定)的. ? 定理9 二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是：它的矩阵A的所有顺序主子式全大于零.即对称矩阵A为正定的充分必要条件是：它的所有顺序主子式全大于零，即 对称矩阵A为负定的充分必要条件是:它的所有奇数阶顺序主子式全小于零,而偶数阶顺序主子式全大于零,即 【例4】判别下列二次型的正定性： f(x1,x2,x3)=3x21+4x22+5x23+4x1x2-4x2x3; 【解】(1) f(x1,x2,x3)的矩阵为 因为 利用定理9可知,矩阵A是正定的,故f(x1,x2,x3)亦正定. 再将含x2的各项配成完全平方，即 f(x1,x2,x3)=2(x1+x2-x3)2-(x22+4x2x3+4x23)-6x23 =2(x1+x2-x3)2-(x2+2x3)2-6x23 令y1=x1+x2-x3 y2=x2+2x3 y3=x3 (4.19) f(x1,x2,x3)=2y21-y22-6y23 (4.20) 式(4.20)就是所求的标准型.式(4.19)就是从变量x到变量y之间变换式，其逆变换为 x1=y1-y2+3y3 x2=y2-2y3 x3=y3 (4.21) 即x=Cy，其中 由于detC=1，故C为满秩矩阵. 对于二次型，引入矩阵 及变换式(4.21)后，即有 f(x1,x2,x3)=xTAx=(Cy)TACy=yTCTACy 若二次型用变量y表示，则相应的对角矩阵为 易知上述配方法总是可行的，所以有下面的结论. 定理1 任何一个二次型都可化为标准型.即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使得CTAC成为对角矩阵. 2. 用正交变换法化二次型为标准型 上面介绍了用配方法把二次型化为标准型.除了这个方法以外还有更重要的方法——正交变换法.