高职 公共课 线性代数2.pptVIP

例4 求下述矩阵的秩 解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵. ～ 因此，R(A) = 2. A r1←→r3 r2 - 2r1 r3 - 2r1 ～ 2.5 初等矩阵 2.5.1 初等矩阵的概念 2.5.2 初等变换求逆法 2.5.3 有关矩阵秩的一些结论 E ～ 2.5.1 初等矩阵的概念 定义 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩 阵 称为初等矩阵.初等矩阵以下有三种： E ～ ～ E = E. 因此， 由于 初等矩阵是可逆矩阵， 且其逆矩阵是同类型的 初等矩阵. = E. 因此， 由于 = E. 因此， 由于 定理 对矩阵 A 施行一次初等行（列）变换相 当于以相应的初等矩阵左（右）乘 A. 例 证明 必要性 设 A 为可逆矩阵.因为 A ～ E ,所以 E 经有限次初等变换可以化为 A，也就是存在初等矩阵 P1, P2 , … , Pk , 使A = P1 …… Pi E Pi+1…… Pk . 定理 设 A 为 n 阶矩阵, 则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , … , Pk ，使 A = P1P2 … Pk 即 A = P1P2 …… Pk 推论 矩阵 A ～ B ( A 与 B 等价）的充要条件是存在可逆矩阵 P 和 Q 使 PAQ = B 充分性 因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵. 所以, 当P1 , P2 , … , Pk 为初等矩阵, A = P1P2 … Pk 时 ，A 是可逆矩阵. 2.5.2 初等变换求逆法 设 A 为可逆矩阵, 据定理5，有初等矩阵 P1 , P2 , … , Pk , 使 A = P1P2 … Pk . 于是有 还有 所以 由（1）和（2）式，根据定理4可知，可逆矩 阵 A 经一些 初等行变换可化为 E ，E 经同样一些初等行变换可变为 A-1. ～ ～ ～ 解： 所以 ～ 2.5.3 有关矩阵秩的一些结论 定理 两矩阵的乘积的秩不大于各因子矩阵的秩 于是 由推论2可知 定理 证明略 * 2.1.6 方阵的幂 定义 例 解 2.1.7 方阵的行列式 方阵的行列式运算满足下述规律 ， 定义 由 n 阶矩阵 A 的元素构成的行列式， 称为方阵 A 的行列式, 2.1.8 对称矩阵 定义 则称为对称矩阵 2.1.9 共轭矩阵 定义 共轭矩阵 共轭矩阵满足以下运算规律(设A，B为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的)： 那么 于是 几个例题： 2. 设 A 为 3 阶矩阵, 那么 于是 2.2 逆矩阵 2 .2.1 逆矩阵的概念 2.2.2 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 2.2.3 矩阵方程 定义 设 A 是 n 阶矩阵，若有 n 阶矩阵 B 使 如果矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一 的，记其为A-1. 定理 若矩阵 A 是可逆的， 证 因为 A 可逆， 则称 A 是可逆矩阵， 称 B 为 A 的逆矩阵 AB = BA = E 即有 A-1 使 A A-1= E . 所以 |A|≠0 . 则 |A|≠0 . 2.2.1 逆矩阵的概念 设 A 是 n 阶矩阵，如果|A|≠0 , 那么A称为非奇 异矩阵. A 是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0 ． A 是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的． 定理 若 |A|≠0， 则 A 可逆, 且 例 判断下列矩阵 是否为可逆矩阵？ 解 因为 所以A 为可逆矩阵，B是不可逆矩阵． 推论 设 A, B 都为 n 阶矩阵 , 则 A 为可逆矩阵， 若 AB = E， 例 因为 所以 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： 则 AB 也可逆，且 3.设A ,B 为同阶可逆矩阵, 2.2.2 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 定义 设 A 是 n 阶矩阵， 的代数余子式 Aij 所构成的矩阵 由行列式 |A| 的各元素 称为矩阵A的伴随矩阵 例 求矩阵 的逆矩阵. 解 由 知 A 的逆矩阵 A-1 存在. 再 由 得： 例 已知 求矩阵 X 满足 AX = C 解 由例3 知 A-1