高职 公共课 线性代数5.pptVIP

第5章 向量空间及线性变换 向量空间的概念 5.1 向量空间的基与维数 5.2 线性变换及线性变换的矩阵 5.3 5.1 向量空间的概念 5.1.1 向量空间的一般定义 5.1.2 子空间 5.1.1 向量空间的一般定义 在实向量空间Rn中，我们定义了向量的加法和数乘两种运算，即对任意 α,β ∈Rn,有α+β∈Rn,对α∈Rn,且k∈R,有kα∈Rn,称为加法和数乘运算具有封闭性. 定义1 设V是一个非空集合，F为数域，在V中定义两种运算，一种叫加法：对 α,β∈V,有α+β∈V；另一种叫数乘： α∈V, k∈F,有kα∈V,且满足下面8条法则. (1) 加法交换律：α+β=β+α； (2) 加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ); (3) 零元素存在：对 α∈V,α+0=0+α=α; (4) 负元素存在：对 α∈V,α+β=0,称β为α的负元，记β=-α,即α+(-α)=0; (5) 恒等性：1α=α; ? 八条法则 这种在元素之间定义了加法和数乘运算且满足八条法则的集合V称为数域F上的一个向量空间.若F为实数域，称V为实向量空间，若F为复数域，称V为复向量空间，空间V中的元素统称为向量. (6) 数乘结合律：(kl)α=k(lα),k,l∈F; (7) 数乘分配律：(k+l)α=kα+lα;? (8) k(α+β)=kα+kβ. 【例1】一般实数域R上的n维坐标向量集合构成的空间记为Rn，复数域C上的n维坐标向量集合的复向量空间记为Cn.特别n=1,即全体实数(复数)集合R，对通常的加法和数乘运算构成一个实(复)向量空间. 向量空间有如下性质： (1) 向量空间的零元素是唯一的； (2) 向量空间的任一元素的负元素是唯一的; (3) 0α=0,左边的0为数零，k0=0,k为数， (-1)α=-α (4) 若kα=0,则k=0或α=0,k为数. ? 5.1.2 子空间 定义2 设W是向量空间V的一个非空子集合，若W中所有元素对V中定义的加法和数乘运算也构成一个向量空间，称W是V的一个子空间. 例如 R3中，过原点的平面是R3的子空间，过原点的直线是平面的子空间，也是R3的子空间.判别一个集合是否为向量空间，需要判别加法和数乘运算的封闭性及满足八条法则，但判别空间的子集合W是否构成子空间，则只要用到加法和数乘的封闭性就行了. 定理1 设W是向量空间V的非空子集合，W是子空间的充要条件是? (1) α,β∈W,则α+β∈W； (2) k∈F, α∈W,则kα∈W. 上面两条件缩写为k1α+k2β∈W,即满足加法与数乘的封闭性. 以下给出定理1的证明 证明 ：必要性若W为子空间，则上述两条件显然成立. ? 充分性若上面两条件成立，即W中，加法和数乘运算封闭.因为W的元素是向量空间的元素，故定义1中的运算法则(1)，(2)，(5)，(6)，(7)，(8)都满足.只要验证(3)，(4). 由于 α∈W,kα∈W,可取k=0，则0α=0∈W,满足(3)式.再取k=-1,(-1)α=-α∈W,满足(4)式.故W是一个向量子空间. 由于向量空间是Rn空间的推广，所以前面介绍的n维向量组的线性相关性，极大无关组，秩，等价等概念及一些有关的性质都可平移到一般的向量空间中来，以后将直接引用这些概念和性质. 5.2 向量空间的基与维数 除了零空间外，一般的向量空间都有无穷多个向量.我们希望能找到尽可能少的有限个向量或部分向量来表示一个空间的任一个向量. 定义 设α1,α2,…,αn是向量空间V的n个向量，若 (1) α1,α2,…,αn线性无关. (2) V中任一向量α都可由此向量组线性表， 即α=k1α1+k2α2+…+knαn∈V.则称α1, α2,…,αn为向量空间V的一个基，称n为V的 维数，记为dimV=n. 称V为n维向量空间，并规定零空间的维数为0. 若把向量空间的基与向量组的极大线性无关组的定义比较，不难发现，若把向量空间V看作一个向量组V，则空间V的一个基就是向量组V的一个极大无关组，空间V的维数就是向量组V的秩. 【例1】 在Rn中，向量组ε1=(1,0,…,0)T,ε2=(0,1,0,…,0)T,…, εn=(0,0,…,0,1)T是线性无关的，且Rn中任 一向量x=(x1,x2,…,xn)T都可由此向量组线性 表示： x=x1ε1+x2ε2+…+xnεn, 故ε1，ε2，…，εn是Rn的一个基，dimRn=n. 定理 n维向量空间V中任意n个线性无关的向 量都是空间V的基. 证明 设α1，α2，…，αn是V中任意n个线性 无关向量，又设 α∈V