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第6讲 虚位移原理与有限元概述 孙远韬 sun1979@ 同济大学 6.1虚位移原理 求解弹性问题的基本思想是在建立弹性力学基本方 程以后，寻找满足已知边界条件下微分方程的解 对于某些问题，特别是对于边界条件较复杂，载 荷也较复杂的问题，用解析法寻求精确解是非常困 难的，有时甚至是不可能的。 为了避免求解这种微分方程时数学上的困难，必 须寻求一些近似的解法。 能量法就可以提供这种有效的近似解法。在各种 能量原理中，虚功原理应用最为方便，它也是有限 单元法形成单元刚度矩阵、节点载荷移置等的基础 基本概念 所谓“虚”是指该量是假想的、实际不存在的。因此 ，虚位移是一种假想加到结构上的可能的、任意的 、微小的位移。 可能的--指结构所允许的，即满足结构的约束条 件和变形连续条件的位移。 任意的--指位移类型（平移、转动）和方向不受 限制，但必须是机构所允许的位移； 微小的--在发生虚位移过程中，各力的作用线保 持不变。 在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为虚功。 刚体的虚位移原理 刚体的虚位移原理可表示如下： 设刚体上作用任意的平衡力系F1，F ，……，2 F 当发生约束允许的任意微小的刚体位移（ n， 虚位移），并且与各力作用点相应的位移分量 分别为Δ1*， Δ 2*，……， Δ n*时，则平衡力 系在虚位移上所作的功（虚功）的总和（代数 和）恒等于零。用公式表示为： n * W ∑ FΔ 0 i i i 1 刚体的虚位移原理 这可用一个较简单的静力学中的杠杆例子来说明 图(a)表示一个平衡的杠杆，对C点的力矩平衡方程为： F /F =b/a A B (b)表示刚干绕支点C转动时的刚体为意图，D 与D A B 有如下关系：D /D =b/a B A 综合上述平衡关系与几何关系可得：F /F =D /D ， A B B A 即 F D - F D =0 A A B B 刚体的虚位移原理 这个结果是以功的形式表达的，它表示平衡力系 在位移上作功时，功的总和必为零。其实杠杆处 于平衡状态时，D 、D 这两个位移不会发生的。 A B 但是如果某种原因发生了，它一定满足 D /D =b/a 。这就是在外力作用下，处于平衡的 B A 任何刚体，如果假定它发生了位移，由于这位移 是虚设的故为虚位移，则物体上所有的力在这个 虚位移上所作的总功必等于零。这就是虚位移原 理。必须指出，虚位移原理的应力是有条件的， 对力而言，它必须是在产生位移过程中处于平衡 的力系。对位移而言，它必须是约束所允许的微 小位移。 弹性体的虚位移原理 下图所示等截面直杆受拉伸，它在载荷F作用下 处于平衡，杆内各个截面上的