2014年高考数学试题分类汇编 解析几何.pdf

解析几何 2 2 x y 20 ．[2014·四川卷] 已知椭圆 C： ＋ ＝1(ab0) 的焦距为 4 ，其短轴的两个端点与长 2 2 a b 轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程． (2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝-3 上任意一点，过F 作 TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q. ①证明：OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点) ； |TF| ②当 最小时，求点T 的坐标． |PQ | 2 2  a ＋b ＝2b， 20 ．解：(1) 由已知可得 2 2 2c ＝2 a －b ＝4 ， 2 2 解得a ＝6，b ＝2， 2 2 x y 所以椭圆C 的标准方程是 ＋ ＝1. 6 2 (2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(-2，0) ，设T 点的坐标为(-3，m) ， m －0 则直线TF 的斜率kTF ＝ ＝-m. －3 －（－2 ） 1 当m ≠0 时，直线PQ 的斜率kPQ ＝ .直线PQ 的方程是x ＝my-2. m 当m ＝0 时，直线PQ 的方程是x ＝-2，也符合x ＝my-2 的形式． x ＝my －2，  设P(x ，y ) ，Q(x ，y ) ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得x2 y 2 1 1 2 2  ＋ ＝1. 6 2 2 2 消去x ，得(m ＋3)y -4my-2 ＝0， 2 2 其判别式Δ＝16m ＋8(m ＋3)0. 4m －2 所以y ＋y ＝ 2 ，y y ＝ 2 ， 1 2 m ＋3 1 2 m ＋3 －12 x ＋x ＝m(y ＋y )-4 ＝ 2 . 1 2 1 2 m ＋3  －6 2m  设M