2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40.pdf

基于非线性最小二乘法的太阳影子定位研究 摘要 本文研究的是利用太阳影子随时间变化的顶点坐标数据或视频进行定位的问题。根 据地理知识建立数学模型，研究影长关于多个参数的变化规律，并运用非线性最小二乘 拟合，对已知影长地点的经纬度以及日期进行参数最优估计，求解得到可能的地点。 针对问题一，首先根据地理知识可得，太阳下杆子的影长只由杆长及该点的太阳高 度角决定，而太阳高度角由该时刻的太阳赤纬角、时角以及该点的地理纬度决定，所以 根据上述几个重要参数建立了影子长度变化的数学模型，分别对单个参数进行偏导数计 算，分析其正负性得到了影长关于不同参数的变化规律。为了修正大气折射率对影子长 度的误差，因此建立了基于大气层折射率的影子长度变化规律优化模型。由于天安门广 场的地方时与北京时间存在时差，因此对时间参数进行转换后，求解得到了修正前后的 天安门广场上3 长杆在指定时间段内的影长变化曲线，通过比较可得修正前后的误差 m 很小。 针对问题二，通过分析一年内的太阳直射点纬度变换规律，得到了日期已知和日期 未知的两种情况下，根据影长求出的可能地点的个数。在日期已知的情况下，基于问题 一得到的影长的函数表达式，使用所给的影子顶点坐标数据，运用非线性最小二乘拟合 对参数地理纬度、地理经度以及杆长进行了最优估计。同时，考虑到影子在该短时间内 的偏移角度因素，因此拟合前后得到的偏移角度应相等，使用贪婪算法对解进行遍历， 最终得到了可能的地点为海南省东方市，具体地点坐标为（19.2486°N，108.5571°E）。 针对问题三，在日期未知的情况下，在问题二模型的基础上，增加一个日期的参数 估计，建立了关于日期、地理经度、地理纬度三个变量的定位模型。使用相同的贪婪算 法对解的范围进行遍历，运用非线性最小二乘拟合对地理纬度、地理经度、杆长以及日 5 27 7 20 期进行拟合，最终得到了：附件二的可能日期和地点为 月 日或 月 日的新疆 （39.8951 ，79.7488 ）、1月19 日或11月25 日的印度洋（39.8950 ，79.7488 ）； E N W N E 附件三的可能日期和地点为2月7 日或11月5 日的湖北十堰（110.2449 ,32.8487 ）、 N E 5月7 日或8月9 日的澳大利亚（110.2449 ，32.8487 ）。 S 2 21 针对问题四，按照等间隔时间为 分钟对视频采样得到了 张图片，由于相机成像 原理可知图片里的影子长度并非真实长度，因此采用了透视投影的交比不变性对照片中 的影子长度和影子端点坐标进行提取，接着，利用问题二与问题三建立的模型对可能的 地点进行求解，最终得到了拍摄日期已知时的可能地点为呼和浩特 （111.0059 ,40.6016 ）印尼东帝汶（125.1506 ,8.6525 ），拍摄日期未知时可 E N E S E N 能地点为6月22 日的包头(109.5805 ,40.5705 )和 12月20 日澳大利亚西南海域 109.4265 ,40.94552 （ E S ）。 模型检验时，做影长关于经度、纬度、日期以及杆长四个参数的灵敏度分析。考虑 将附件中原始数据影长做 10%的变化，再求其变化分别对所要