中外数学史第8讲.ppt

中外数学史概论;第八章 宋元数学——中国传统数学的高峰 宋元时期，社会经济环境相对稳定，为科技发展提供了有利条件。 第一节 贾宪与曾乘开方法 中国11世纪上半叶（北宋）的杰出数学家。约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉《详解九章算法》（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。《算学斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）已失传。 　　他的主要贡献是创造了“贾宪三角”和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性。;; 设对于数 开 次方， ，若 为两位数，设 ，（ 为十位数，为个位数），则 ; 二、增乘开方法——类乘累加的机械化算法 其基本思想是：开方求得根的第一位得数后，求减根方程时，以商得数自下而上随乘随加，每次低一位而止；商得次一位后，仍以随乘随加减实，如是机械反复，直至求出最后的答案。例如“令有积一百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？”此题相当于求方程 的正根。按贾宪方法：(1)实上商置第一位得数；(2)以上商乘下法置廉，乘廉为方，除实讫；(3)复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉；(4)其方一、廉二、下三退；(5)再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫；(6)复以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉；(7)其方一、廉二、下三退，如前；(8)上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数。 很明显，求得方根第一位后，求下面每一位的步骤都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步骤，(6)(7)(8)是求第三位的步骤，依此类推。如果是开平方，则开方式无廉；如果是开四次方或四次双方以上，则在方和下法间加廉，称一廉、二???……，开方步骤与开立方一致。;;三、贾宪三角的教育价值 贾宪——杨辉三角;第二节 秦九韶与《数书九章》 一、秦九韶简介 秦九韶（公元1202—1261年）字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。  宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数书九章》，并创造了“大衍求一术”。这 不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。;;《数书九章》是一部划时代的数学巨著。全书共列算题81道，分为九类，每类九个问题。主要内容如下： 一、大衍类：一次同余式组解法。 二、天时类：历法计算、降水量。 三、田域类：土地面积。 四、测望类：勾股、重差。 五、赋役类：均输、税收。 六、钱谷类：粮谷转运、仓窖容积。 七、营建类：建筑、施工。 八、军族类 ：营盘布置、军需供应。 九、市物类：交易、利息。 全书实用性强，以问题集的形式来表述，所设问题复杂，解题步骤详细。《数书九章》在数学内容上有颇多创新，其中最重要的是对“大衍求一术”﹝一次同余组解法﹞和“正负开方术”﹝高次方程的数值解法﹞的深入的研究。;; 2.建立了一般线性方程组严整规范的算法 秦九韶改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致。对于分数系数先去分母，化简方程后变成最简方程，反复实施”化约——互乘——相消——化约“的机械化步骤。 四人的入股资金各折106000贯， 甲：黄金200两，盐40袋； 乙：白银800两，盐264袋； 丙：度牒15张，白银1670两； 丁：度牒52张，黄金58+1/3两。 求：黄金、白银、度牒、盐各值多少？ 设度牒每张