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中心极限定理在数理统计中的应用 内容摘要：中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅为计算相互独立随机变量之和的近似概率提供了简单的方法, 也为数理统计的许多应用奠定了理论基础，诸如抽样分布，区间估计，假设检验中的大样本情况，都得以中心极限定理为前提才能得以解决。 关键词：中心极限定理 抽样分布 统计推断 应用 在概率论中，中心极限定理是最著名的结果之一，在长达两个世纪的时间内，它曾经是许多著名的数学家研究的中心课题。中心极限定理指出，大量相互独立随机变量之和（在每个随机变量对总和的影响都很微小的情况下）近似服从正态分布。因此它不仅为计算相互独立随机变量之和的近似概率提供了简单的方法，也解释了为什么许多随机现象中的量都近似服从正态分布，同时还为数理统计的许多应用奠定了理论基础。 中心极限定理这一名称，是卜里耶在1920年首次命名并被数理统计学界所采用的。定义如下： 设 为相互独立的随机变量序列，各的期望与方差均存在，记 由定义可知，随机变量序列服从中心极限定理意指其前n项和的标准化随机变量序列的极限分布为标准正态分布。 ） 最早证明的一个中心极限定理是隶莫佛尔极限定理： （隶莫佛尔－拉普拉斯定理）设独立同分布，则随机变量序列服从中心极限定理，即有，即n当足够大时， 近似服从N（0，1），从而近似服从N（np,npq）. 更一般地有： （勒维－林德伯格定理）设为相互独立同分布的随机序列（不必问服从何分布），且，则服从中心极限定理，即有 勒维－林德伯格定理应用十分广泛，因为据此定理，当n足够大时，独立同分布的随机变量之和的精确分布（往往很难推知）。可用正态分布来近似，而这一结果，在数理统计中大样本问题（即抽取的样本容量n很大）的统计推断中，起着关键的作用. 利用上述定理，很容易说明高尔顿钉板试验的结果。 那么根据上述中心极限定理，我们所熟知的二项分布与泊松分布，都可以用正态分布来近似，因为对于二项分布B(n,p)，当试验次数时，对于泊松分布P(np)，当时，它们都趋向于正态分布。 最为一般的条件下的中心极限定理是： （林德伯格定理）设独立随机变量序列满足林德博格条件，即,有其中为的分布函数，，则服从中心极限定理，即对任意实数x有 此定理表明众多影响一致地小的随机变量之和的极限分布是正态分布。 推论：（李亚普诺夫定理） 设为相互独立的随机变量序列，如果存在，则服从中心极限定理。 定理指示，当n很大时，随机变量渐近地服从正态分布，也就是说，无论各个随机变量具有怎样的分布，只要满足定理的条件，那么当n很大时，它们的和就渐近地服从正态分布。 利用上述中心极限定理，不但可以解释客观现实中许多随机变量服从正态分布的原因，而且能解决许多实际问题。 【例1】 设一个车间里有400台同类型的机器，每台机器需要的电功率为若干千瓦。由于工艺关系，每台机器并不连续开动，开动的时间只占工作总时间的3/4，问应该供应多少千瓦电力，才能以99％的概率保证有足够的电功率？这里假定各台机器的停和开是独立的。 【解】 用x表示考察的时刻正在开动的机器的台数，则n可以看作是400次相互独立的重复试验中“开动”事件出现的次数。在每次试验中，“开动”事件的概率为3/4。 由于n=400，足够大，对于任一实数t，根据中心极限定理，即有 ,现在希望=0.99, 从N（0，1）的分布函数表中，查得满足这个不等式的t为2.326 因此，即概率为0.99时，由括号中的不等式有 即只要供应320千瓦的电功率，便能以99％的概率保证有足够的电功率。 【例2】 设某农贸市场某商品每日价格的变化是均值为0，方差为的随机变量，即有关系式，其中表示第n天该商品的价格，为均值是0，方差是的独立同分布随机变量（表示第k天该商品价格的增加数），如果今天该商品的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率。 【解】 设表示今天该商品的价格，为18天后该商品的价格。则 ，由中心极限定理得、 需要注意的是，并不是每个独立同分布的随机序列都服从中心极限定理。 由此我们可知，中心极限定理为计算相互独立随机变量之和的近似概率提供了简单的方法，其实它还为数理统计的许多应用奠定了理论基础。 概率论和数理统计都是研究随机现象的统计规律性的，这是他们的共同之处；但前者是从假定模型出发，而后者则是从对随机现象的实际观测数据出发，这是他们的不同之处。可以说概率论是数理统计的理论基础，数理统计则是概率论的进一步拓展和应用。 数理统计所要解决的问题就是：对随机现象进行适当的合理的观测，取得数据，再根据观测数据分析、推断随机现象的统计规律。内容十分广泛。其核心是统计推断。 所谓统计推断就是由样本推断总体。例如，通过对部分产品的检验推断全部产品的质量，为了掌握随机