中考二轮之——冲刺{几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性}.doc

几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性 关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目又可分为两大类： 第一类：设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”. 第二类：设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”. 这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入. 现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征. 一.探究图形变化引出的不变性或变化规律 从图形变化过程来看，又分为三条途径： Ⅰ.由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ.由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ.由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律. 从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同. 1.图形变换引出的不变性或变化规律 我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有： Ⅰ.化归到基本图形的“变换性质”； Ⅱ.沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性. ㈠借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解答 例1：在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． ⑴在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； ⑵当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； ⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，⑵中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）． 【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是： 它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”．至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”． 【同型练】如图1，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D．一正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B． ⑴在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想； ⑵将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N．此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； ⑶将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N．此时请你猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明． 例2：用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转． ⑴当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论； ⑵当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由； ⑶设直角三角尺与矩形ABEF重叠部分的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【同型练】已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM＋DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并